IT

Si c'était la seconde, la fonction mo — IDE, (x) (352, I)

serait aussi polarisée (270); or nous venons de constater l’impossibilité de ce fait.

Expressions générales des intégrales elliptiques.

315. Au moyen des fonctions que nous venons d'étudier (et des fonctions algébriques, logarithmiques, etc.), on peut exprimer toutes les intégrales elliptiques, et en particulier les plus simples

d’entre elles, auxquelles toutes peuvent être réduites (298). Mais

auparavant, 1l convient de résoudre. le problème suivant dont on remarquera l’analogie avec celui du n° 295, et qui se confond en quelque sorte avec celui du calcul d’une intégrale elliptique quel-

conque (377, inf.).

En désignant par f(x) une fonction bipériodique indé finiment méromorphe, calculer l’intégrale indéfinie

Nous pouvons procéder exactement, comme si f(x) était une simple fraction rationnelle. Soient effectivement (II, Q), un couple de périodes de f(x) (qu’il y aurait avantage à prendre élémentaires

s'il s'agissait de calculs numériques) et Æ,(x), Æ(x), . 4 O(x),

les fonctions connexes des paragraphes précédents, construites avec Il, Q pour fausses ou vraies périodes.

D'après ce qu'on a vu au n° 347, f(x) s'exprime linéairement au moyen des fonctions & par une formule pouvant être écrite

(1) f(x)=KHSAS;E, (x a),

A, ++, Xj, ++. étant les infinis numériquement distincts que f(x) possède dans une maille donnée de son réseau, et A; ; le numérateur de la fraction simple qui a (x — 4;)° pour dénominateur dans la décomposition connue de f(x).

L'intégration indéfinie de cette formule donne, en appelant C la constante arbitraire,

Sf(x)dx = C+Kr+ZA;,; f(x — a;)dæ.

Or on a (aux constantes arbitraires près) :

1° Quand est. > 1 (343, I),

fr — a;) dr — Sen Si (T — a;

2° Quand & = 1 (352, I), SEX — a;)dx = lO(x — aj)s ce qui achève la solution du problème.

L'intégrale se compose donc de quatre parties, savoir : 1° la foncton linéaire C + K x; 2° une partie méromorphe et bipériodique,