CHAPITRE X. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS BIPÉRIODIQUES

aux périodes IT, Q de f(x), c’est l’ensemble des termes contenant des fonctions € d'indices Z 2 (345); 3° une partie encore méromorphe, ayant Il, Q pour fausses périodes, c’est le groupe des termes contenant des fonctions &,; 4° une partie non méromorphe ayant des phases singulières logarithmiques, c'est celle qui conuent les fonctions /O(x — 4;); ces termes proviennent de ceux de la formule de décomposition (1) où Æ a l'indice 1. Selon les valeurs des coefficients À; ;, telle ou telle de ces parties existera effectivement ou manquera dans l'expression de notre intégrale. Et l’on aperçoit immédiatement les conditions que f(x) doit remplir pour que l'intégrale soit de telle ou telle sorte; pour que celle-ci soit méromorphe par exemple, la condition est la même que si f(x) était une fraction rationnelle : &/{ faut et il suffit que tous les résidus de f(x) soient nuls.

Chacune des fonctions E>(X7 —4;) entrant dans la deuxième partie de l'intégrale est du second ordre, parce que sa maille élémentaire contient un seul infini qui est double (321 ) ; elle est ainsi exprimable algébriquement au moyen d’une fonction quelconque du second ordre à périodes égales (331), (381, inf.); de plus, les fonctions correspondantes £,(x — 4j), EEE «}), 0 sont. les dérivées de ces expressions à des facteurs numériques près (343, 1). Cette seconde partie de l'intégrale est donc transformable en un polynôme linéaire par rapport à des fonctions algébriques d'une même fonction du second ordre et à quelques-unes de leurs dérivées.

316. On donne souvent à la solution de ce problème une forme différente mais bien moins nette, en exprimant f(x) au moyen d’une fonction du second ordre aux mêmes périodes et de sa dérivée (381, inf.), puis en faisant usage de formules de réduction qui ramènent le calcul de l'intégrale à celui de quatre autres rela- Livement très simples. Mais le fond reste le même, et l’algorithme devient celui de la réduction de l'intégrale elliptique la plus générale, tant soit peu déguisé.

371. Le calcul de l'intégrale elliptique quelconque iron S'Fu, Votu)]du,

F désignant naturellement une fonction rationnelle de deux variables, et o(u) un polynôme du troisième ou du quatrième degré en uw, se ramèéne au problème précédent, comme nous le disions tout à l’heure. Appelons effectivement £(æ) une intégrale E.. (æ) ou E(x) suivant le cas (305), (302), de l'équation différenuelle

et exécutons dans l'intégrale (2) la substitution (3) HT), d'où du, = 4700

Comme on a lu Ta, de 2 Vrtu= Ce) il vient SElu, Votu)]du = SF[E(æ), C'(x)1E' (x) dr.

Or maintenant (255) la fonction sous le signe f n’est pas autre chose qu'une certaine fonction de x, méromorphe et bipériodique. Après avoir calculé cette intégrale (375), 1l suffira d'y remplacer x par sa valeur en w tirée de l'équation (3), pour obtenir l'intégrale

cherchée (2).

978. Le calcul de l’une des intégrales elliptiques réduites (298) est naturellement le cas le plus simple de la question précédente. La substitution (3) ramène l'intégrale de première espèce à

(1) f dx, celles de deuxième espèce à (5) fe) de io terrde,

et celle de troisième espèce à

6 (f dx 2 C(T)—a L'intégrale (4) est simplement la fonction inverse de €(x),

c'est-à-dire la racine de l'équation (3) résolue par rapport à x. La première des intégrales (5) est d’une nature ou d’une autre,