CHAPITRE XI. — FONCTIONS BIPÉRIODIQUES DU SECOND ORDRE

385. En faisant successivement y —x,2x,...,(n—1)x dans la formule (12), elle fournit des expressions de (2x), f(3x), ..., f(næ), qui se ramènent facilement à des fonctions rationnelles de f(x), f(x), contenant cette dérivée au numérateur seulement et au premier degré. C’est immédiat pour f(2æ), par la substitution dew[ f(x)] à [f'(x)fP. Dans /(3x) figure f(2æx) déjà connue, et f(2x) qu’on en déduit par différentiation. On introduit ainsi f'(æ), mais on s’en débarrasse au moyen de l'équation différentielle de f, donnant f(x) —{%(f). On amène le dénominateur à ne plus contenir que des puissances paires de f'(x), en multipliant les deux termes de l'expression par un facteur convenable; puis on substitue partout #(f) à f'?. Et de même ensuite DOUAI AR)

Une méthode plus directe consiste à remarquer queF(x)—=/f{(nx) L RAGE LA 1 4 , Il Q est une fonction du second ordre aux périodes élémentaires Dre 7 rè

partant une fonction d'ordre 2 #?, relativement à (I1,Q)(322). Il en résulte immédiatement (331), que F(x), f(x) sont liées par une équation entière de degrés 2, 27°, ou 1, n?, suivant le cas, ou bien encore que la première fonction s'exprime au moyen de la seconde de la manière indiquée tout à l'heure.

On a F(S—x)—f(nS — nx); si donc il existe entre ALL CE et l’entier une relation telle queS, »S soient congrues suivant le couple (II, Q), on aura F(S—x)=F(x), et f'(æ) n’entrera pas dans l’expression de f(nx) qui sera de Ja forme (3). C’est ce qui arrive quel que soit », quand S — 0, c’est-à-dire quand f(x) est une fonction paire de x.

386. En substituant = à æ dans la relation entière entre f(nx) et f(x), celle-ci se change en une équation entière de degrés 2, 2n?

À : æ ; : pr. fn om entré / (x) ef(%): et la résolution de cette dernière

L2 L TX fournira l’expression de Fe au moven de f(x). ournira l'expressio de f(; yen de f(x)

Transformations primaires.

387. La réduction et la classification des intégrales elliptiques ont d'abord occupé les géomètres, qui n'ont pas tardé à recon-

naître l'importance relative plus considérable de celles de première espèce. Ne pouvant les exprimer-au moyen des fonctions qu'ils connaissaient, ils ont cherché des substitutions algébriques de nature à modifier seulement les coefficients du polynôme du troisième ou du quatrième degré figurant sous le radical, sans que l’intégrale cessät d’être elliptique et de première espèce. [ls voulaient ainsi faciliter le calcul numérique de ces intégrales en les réduisant à des formes plus simples el moins nombreuses, et aussi obtenir entre elles des relations intéressantes en théorie. Cette recherche constitue le problème de la transformation des intégrales elliptiques de première espèce, qui peut s’énoncer comme il suit:

Dans l’équation différentielle

(1) du; va du

Val) + au +:..+ af ut Va + aWu LE... +awut

entre la variable indépendante u et la fonction u,, on donne les coefficients a), ..., al) du second membre; trouver pour ceux du premier toutes les combinaisons de valeurs satisfaisant à des relations données entre eux et a), ..., at), qui font acquérir à celte équation une intégrale algébrique, c'est-à-dire racine de quelque équation entière entre elles et u

. A PL. L4 . . e .

calculer en même temps l'intégrale dont rl s’agil, ou, ce qui revient au même, les coefficients de cette dernière équation.

Ce problème étant résolu, il est clair qu'en ürant inversement de l'équation (2) u —y(u,), cette substitution donnera à l’inté-

grale du Vas +... abus

1 du, Val +. Haut

À la fin du n° 293 nous avons exécuté une opération de ce genre pour une intégrale ultra-elliptique, en cherchant la substitution (4) où 4, x jouaient les mêmes rôles qu'ici w,, u: les relations 1MpPO-

la forme

que l’on avait en vue.

it à