CHAPITRE XI. — FONCTIONS BIPÉRIODIQUES PU SECOND ORDRE

Pour obtenir une transformation de degré donné %,, il faut donc trouver, pour N— + 3X, quelque système de solutions entières de l'équation indéterminée (7 bis) aux 4 entiers inconnus p,, qi, P,:9,» rer des équations (6)les valeurs correspondantes deIl,,Q,, puis conserver parmi les fonctions du second ordre qui ont ces périodes élémentaires et une constante supplémentaire congrue à S

suivant ces mêmes périodes, celles qui correspondent à des coeffi-

cients de la fonction rationnelle en f qui est l’expression de j, se

cients a, ..., a" satisfaisant aux conditions posées. Les coeficalculent ensuite par tel ou tel moyen particulier.

L’exiguité de notre cadre nous interdit de pousser la solution au delà de cette grossière ébauche; d’ailleurs on n’exécute guère d’autres transformations, que celles intéressant la fonction elliptique À(x), dont nous parlerons dans le Chapitre suivant. Nous pouvons cependant traiter un cas des plus faciles, qui conduit à la connaissance de propriétés essentielles des fonctions du second ordre, et à l’explication du choix que les géomètres ont fait de

celte fonction À pour type de toutes les autres.

390. Nous exécuterons une transformalion rationnelle du prenier degré, en imposant aux coefficients a”, ..., a de l’équation (1) la condition d’être respectivement égaux à at°), ..., al). Les fonctions f(x), f(x) introduites au n° 388 seront alors des

intégrales de la même équation différentielle

du : FE CRE ee = Va + al EME QU) ur, dx

et l’on aura par suite (304, II)

l désignant quelque constante. Les deux fonctions f,, f ayant ainsi les mêmes périodes élémentaires, les équations (6) sont possibles en nombres entiers donnant N— 1. Mais 1l faut encore, en vertu de (7), que leurs constantes supplémentaires soient congrues. En appelant toujours S celle de f(x), celle de f(x +T) est évidemment congrue à S — 27. Il faut donc que 2F soit congru à o, c’est-à-dire que l’on ait à des multiples près des M. — II. 28

périodes élémentaires Il, Q, communes à f(x), f,(x),

Q . H+9Q F0; ou =) ou = —9 ou ee .

En d’autres termes : st T a l’une de ces quatre valeurs, à l'exclusion de toute autre, on «a tdentiquement

- x + 8 f(x (8) fe += fie,

a, 8,7, à désignant certaines constantes dont le déterminant n'est pas nul (sans quoi f(x 4+T), partant f(x), dégénéreraient en des constantes).

Des quatre formules ainsi obtenues, la première se réduit à f{æ)= f(x) et n’apprend rien; la dernière est une conséquence de la seconde et de la troisième, car on l’obtient évidemment en

| ER il 140 irant de cette troisième l’expression de fe See =) au moyen

Il - , Il de f(x =) , puis en remplaçant dans le résultat f(x + —) par

son expression en f(x) fournie par la seconde. Mais la seconde et la troisième ont des seconds membres distincts, car autrement

Tan. Il Q\ on aurait identiquement D LT + ns de X + >) ce qui ne Se peut, puisque =; > ne sont pas des quantités congrues; et elles

expriment des propriétés nouvelles et fort importantes d’une foncion quelconque du second ordre. Nous les nommerons les deux transformations primaires de cette fonction, relatives à ses périodes élémentaires H, Q, respectivement.

La formule (8) où l' représente ainsi = ou s'écrit encore a f(x) f(x +T)+ 8 f(x)+ f(x + y T0 et donne par le changement de x en x+F, a f(æ)f(e +T)+ f(x) + Bf(x +T)+ y =0,

à cause de f(x + 21)= f(x). En retranchant membre à membre, il vient donc

(B—S)Lf(x +T)—/f(x)1= 0,