CHAPITRE XI. — FONCTIONS BIPÉRIODIQUES DU SECOND ORDRE
d’où à —$, parce que, x +T et x n'étant pas des quantités congrues, le second facteur ne peut s’évanouir identiquement.
Cette observation donne à la transformation primaire qui correspond à la période élémentaire quelconque Y, la forme définitive
G@) m/rY(r+:)+B{fe)+/(2+r)]+nc.
391. Qu'elle soit du genre E(x) ou E,. (x), la fonction f(x) a
toujours trois valeurs cardinales finies (10) ANNE LC:
au moyen desquelles les coefficients de cette transformation s'expriment immédiatement. Mais, auparavant, il faut préciser des corrélations importantes entre leurs combinaisons et les divers couples possibles de périodes élémentaires.
Des racines quelconques 4, #5, &e des trois équations numériques
f(æ)—a=0, f(x)—b=0, f(x)—ce=—0,
étant doubles chacune, les sommes æa + da = 224, 224, 2%, sont toutes congrues à la constante supplémentaire de f(x), suivant un quelconque (II, Q) de ses couples de périodes élémentaires ; par suite, elles le sont deux à deux. Comme deux de ces racines ne peuvent jamais l'être, les trois différences |
Ta Lhs La Les Eb — Le
le sont respectivement aux trois quantités
disposées dans un ordre convenable. Si ces congruences ont lieu précisément pour l’ordre ci-dessus, nous dirons que la période N et l'association (ab), la période Q et l'association (ac), s'appartiennent, réciproquement el respectivement.
Les points suivants s’établissent ensuite très facilement.
1. À toute association de deux des trois quantités (10), appartient toujours quelque période faisant partie d’un couple élé-
436 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS D'UNE SEULE VARIABLE. mentaire; en faisant donc abstraction de l’ordre des périodes, tous les couples élémentaires se partagent en trois genres, caractérisés chacun par telle des trois combinaisons deux à deux des trois associations possibles (bc), (ca), (ab).
Il. Pour que le couple élémentaire quelconque
qu) | Q = yi + 00, avec À 5 ee | Ÿ Ô
soit du genre de (H, Q), él faut et il suffit que, dans ce déterminant, les éléments soient impairs sur une diagonale, pairs sur l’autre ; et, selon que la diagonale principale contient ainsi des éléments impairs ou pairs, H,, 9, et II, Q individuellement el respectivement, ou bien Q,, II, et If, Q appartiendront aux mêmes associations des valeurs cardinales (10).
Par exemple, pour la fonction E(x) étudiée au n° 302, les périodes Il, Q fournies par les formules (24) de l’alinéa VIT, c'està-dire par le calcul de l'intégrale (13) de l'alinéa I sur deux chemins fermés enveloppant l’un a et b, l’autre a et c, à l'exclusion de toutes autres valeurs cardinales, appartiennent aux assoCIa-
tions (ab) et (ac) (304, IV).
392. Si, maintenant, on suppose, pour fixer les idées, que la
ériode Y soit IL appartenant à l'association (ab), et si dans la P PP ) ) É
é Le ; Il transformation primaire (0), on fait d’abord =, & + >
: \ s IT ; deviendra congru à æ5, d’où f(XZa) = 4, f(aa+ :) — b, puis (12) aban+(a+b)$r + Yn = 0:
Si l’on y fait ensuite x — 4, on aura f(x) = C et f(ze+ =) 5
EL . U\, quatrième valeur cardinale de f(x), parce que 2 (te + 5) étant
une quantité congrue à la constante supplémentaire, alors que
CHAPITRE XI. — FONCTIONS BIPÉRIODIQUES DU SECOND ORDRE. 437 Il A SR : vs SUN IT es js ne peutl'être m à 2, ma xs, mate, f | Le + > } éstune valeur cardinale de f(x) étrangère au groupe (10). Il vient ainsi (13) . cdan+(c+d)fr+Yn=0.
Les équations (12), (13) sont précisément celles dont la résolution fournira des quantités proportionnelles aux coefficients œyr, Or Yir: car, si les déterminants des coefficients de ces inconnues prises successivement deux à deux s’évanouissaient tous trois, il viendrait immédiatement
a+b—=c+d, CERTA
doc tb — 4 ou'bien a — d, bc, ce qui est impossible. S1 d était infinie, l'équation (13) devrait naturellement être remplacée par Can + fr =0.
Les équations linéaires simultanées
(14 { acan+(a+c)ba+ Ya = 0:
| bdas+(d + d)Bo+ Yo = 0
détermineront de même les coefficients de la transformation pri-
maire relative à la période Q supposée appartenir à l’associaüon ITA
393. Le théorème suivant ne nous est pas encore utile, mais nous le plaçons ici pour le rapprocher de ceux sur lesquels sa démonstration s'appuie.
Nous appellerons E(x) la fonction bipériodique du second ordre des n° 302 et suiv., aux valeurs cardinales &, b, c. d, finies toutes quatre, aux périodes élémentaires IT, Q, appartenant aux associations (ab), (ac) (391), puis H une constante -Zo, et nous considérerons la fonction
M{x)= VHIE(z)—a][E(x)— 0),
que nous savons être méromorphe (381, Il), avec quelque couple
de périodes appartenant à E(x) (330). Cela posé : Si l’on a l'égalité
la fonction X (x) est du second ordre avec II, Q + — pour périodes élémentaires.
Sinon, elle est du quatrième ordre avec 11,420 pour périodes élémentaires.
I. Les périodes de X (zx) appartenant à (x) = HIE(x)— aJ[E(x)— 01],
nous déterminerons d’abord toutes les constantes T rendant la différence
nulle identiquement; ce seront les périodes de 3(æ}?, parmi lesquelles nous chercherons ensuite celles de 3(x).'On annulera naturellement le premier facteur de cette expression, en prenant pour l'une somme de multiples entiers de II, Q; le second facteur reste donc seul à discuter.
L'identité (17) E(x+T)+E(xz)—(a+b)=o est nécessairement quelque transformation primaire de E(x) (390);
d’où (à des multiples de IT, Q près)
ou —
Les coefficients «, $, y de ces trois transformations se tirent d'équations linéaires simultanées analogues à (12), (13), et, en exprimant qu'ils ont pour valeurs 0, 1, —(a + b)respecuvement, on forme les trois systèmes de conditions correspondants
(o) 0 DL. —(a+b) 1 (a+b)—(c+d) cd— ab ab(c+d)—cd(a+b) LA ROC EL SPORE (a+c)—(b+d) bd— ac ac(b+d)—bd(a+c)
(a+ d)—(b+c) db 04 ad(b +c)—be(a+d)
