CHAPITRE XII. — FONCTIONS ELLIPTIQUES CANONIQUES

Si sa seconde transformation primaire a la formé de simplicité maximum

k Q (2) fe)+ (a+ ©)=0 la première prend simultanément la forme simple

(3) ff (e+s)1=0.

Et, pour qu’il en soit ainsi, il faut et il suffit que l’on ait (4) a+c—b+d—=o,

ce qui entraine pour o(f), polynôme entier en f figurant dans l'équation différentielle de f(x), la propriété d’être bicarré, et pour cette fonction, par suite, celle d’être du genre E(x).

Pour que la seconde transformation primaire ait la forme (2), il est nécessaire et suffisant que les équations (14) du n° 392 donnent 4o — Ya — 0, fa“ 0, c’est-à-dire que les égalités (4) aient lieu. Si elles existent, aucune des quantités (1) ne peut être nulle, sans quoi une autre le serait aussi, et w(f) serait divisible par le carré /?; elles donnent ab = cd, en outre a + b 0, sans quoi on aurait b — c, puis enfin c+ d<0 pour la même raison. Les

équations (12), (13) donnent donc fr —o, pa — — À,en posant