CHAPITRE XII. — FONCTIONS ELLIPTIQUES CANONIQUES

Comme cette relation est entière en À(x), \' (x) en ne contenant N(x) qu’au premier degré, de même nature aussi relativement à À(y), N(y), on a forcément, comme au n° 383, IT,

HpAp — HiAi= HiB = Hp Cp — HG = HD =;

quelles que soient À(x), À(y). On ne peut avoir simultanément B— D —o, car alors la formule considérée ne contiendrait pas }'(x)

ce qui est impossible (383, I, in fine). On a donc H="10: d’où Ap = Gp = 0,

parce que H,, H; ne peuvent s'évanouir identiquement tous deux. En conséquence, on a d’abord

parce que ce polynôme, dont le degré par rapport à ÀA(x})est=o, ne peut contenir que des puissances impaires de cette fonction el qu’il est symétrique par rapport à À(x), À(y). On a ensuile

ENT cA(æx),

parce que ce polynôme, de degré Z2 en A(x), n'en peut contenir que des puissances impaires; d’où

B — cA(Y)

parce que la permutation de A(x), A(y) permute aussi B, C. On

a enfin H = ho+ h[A(æ) + (y) ]+ Ah} Ar P,

parce que ce polynôme ne contient que des puissances paires de A(x), que le degré de cette fonction n’y peut surpasser 2, et qu'il est symétrique par rapport à A(æ), A(7). Et dans ces quatre formules, a, €, ... sont maintenant des constantes. Sous le bénéfice de ces observations, la formule cherchée prend la forme

ak(æ)A(y)+c[A(æ)NW'(y)+A (NX 'G@)I+DX'(æ)' Cr) Dr) DEA EN CNE NO E EANCIENCSE

— x, le premier membre s’éva-

À ; Û à Si maintenant on y fait y — =.

nouit quelle que soit x, et par suite aussi le numérateur du second membre, se réduisant à

(22) al(x} — D\'(x}

à cause des identités (14), (19), cela parce que le dénominateur qui devient h$+ 2h, (x)? + h; (x) n’est pas identiquement infini. Le polynôme (22), entier en A(x), N(x), contenant la première fonction à un degré <[4, degré par rapport à A(x) de l'équation entière irréductible entre cette fonction et V(&), est identiquement nul (332, 11), d'où «a — D — 0, ce qui réduit la formule (21) à |

c[A(æ)l'(y)+A(y)'(æ)] ho+ RTC) +R] RAA P

Pour y —=0o,ona(y)—=0, (y) —=1,et le premier membre se réduit à A(x); comme il doit en être ainsi pour le second, on a Ro — 0, C— Ro.

Enfn l'hypothèse y = — x + # rend le premier membre infini, mais non le numérateur du second, cela du moins quelle que soit æ; elle doit donc annuler le dénominateur, et, comme (y)

devient — AG) °2 vertu de la transformation (16), il faut qu’on ait A, = — k?h,. Moyennant quoi, la suppression du facteur com-

mun € — 4, donne à la formule cherchée la forme définitive

L'expression de (x — y) se déduit de celle-ci par le changement du signe affectant le second terme du numérateur (384).

406. En considérant la fonction (®#,(x) à la période unique w, à la fausse période w', définie au n° 339, on a

I œ 45 w' (24) NCZ pe [ose t) ose 22) |.

uw!" wù + w’ Comme ne

sont les seuls infinis incongrus de (x, k),

ln hote