Les relations k

D Ft

et la formule Re 7:

donnent une transformation du premier degré évidente, qui équivaut à la relation

CGR) — ï À (æ, #; +) = e À (er, ) :

entre la fonction A(x, k) et la fonction À (ke

15 12 au module réct-

[l proque +:

405. L’achèvement, pour la fonction ÀA(x, £), de la formule relative à l'addition des arguments, dont la construction a été commencée dans le Chapitre précédent, va montrer comment il faudrait procéder pour toute autre fonction de second ordre dont les propriétés caractéristiques seraient aussi connues.

Parmi les polynômes A, ..., entiers en ÀA(x), A(y), qui figurent dans la formule générale (12) du n° 383 appliquée à la fonction À, B est indépendant de A(x), D de À(x) et de A(y); nous écrirons les autres Ab + À;, Ch + CE H, + H;, en décomposant chacun en deux parties contenant exclusivement, la première les puissances paires de À(æ), la seconde les puissances impaires de

e : : W , + cette fonction, puis nous aJouterons = à æ, ce qui, en vertu de la

transformation (15), change A(x) en — (x), par suite Ai, Gi, FE en — À;, — Ci, —H;, puis V(x) en —\{x) (402, .V),NT Em) en — (x + y), mais laisse tout le reste invariable. En écrivant donc que cette opération multiplie simplement par — 1 le second membre de la formule en question, il vient facilement la condition

Hp Ap— HA — HBX'(æz) + (Hp Op — HG)l' (y) — HD (æ)'(y)=0;

quelles que soient x, y.