À(T, PAT

formule qui permet de résoudre ce problème :

; uw) ne AUDE Connaissant le rapport — de deux périodes elliptiques de

1(æ, k), calculer ces périodes et le module k.

: : . n) à è h En faisant effectivement x Re FT + la relation (26) | 4

donne (399)

les signes supérieurs devant être adoptés, ou les signes inférieurs, selon que le second élément de = est positif ou négatif.

D'après le n° 366, les seconds membres de ces formules ne dépendent que de : qui est donné, et de — ce dernier rapport entrant simplement comme facteur dans les numérateurs. Cela

; ee SALU : UE posé, la première fournit == SOUS forme du quotient de deux séries HA uw)” uw)

. La valeur de — (0) Se

factorielles ; d’où w = — *< 27, puis = w X 27T

une fois connue, la seconde formule fournit celle de * sous la même forme.

O0. Dans les applications, le module de X(æ, k) est toujours réel, et on le prend positif. Comme il ne peut être —1 (400), la transformation du n° 404 permet de le supposer toujours <1. La fonction jouit alors des propriétés numériques suivantes, résultant immédiatement de l'équation différentielle (10) combinée avec les propriétés fondamentales résumées au n° 399 ; nous nous contenterons de les énoncer.