CHAPITRE XII. — FONCTIONS ELLIPTIQUES CANONIQUES

La première partie se ramène immédiatement aux intégrales circulaires par la substitution uŸ = +, parce que w,(u,) est bicarré. On donne enfin au polynôme sous le radical dans la deuxième partie la forme canonique w(u>)—(1—u;)(1 — Au;), avec À réel et 1, en posant w, — v(w), v étant une fonction algébrique très variable avec les signes relaufs de À, m/', m”, qui laisse fonc-

ARRETE ie du: ; tion rationnelle de w? le multiplicateur de -—— sous le signe /f.

Voa(uo)

Ces substitutions, au nombre de 5, n’offrent aucun intérêt théorique, puisqu'il s’agit simplement de satisfaire à certaines inégalités numériques. On les trouvera dans tous les ouvrages spéciaux sur les foncuons elliptiques.

Fonctions elliptiques canoniques auxiliaires (x) ou cnx, (x) ou dnx, w(æ) ou inx.

4920. Dans les formules relatives à la théorie des fonctions elliptiques, l’usage a introduit d’autres fonctions du second ordre spéciales dont il nous faut parler encore.

On désigne par u(x) ou cnx, la fonction composée irrationnelle de A(æ) [écrite au lieu de A(x, k)], que définit la formule

(1) u(z)=Vi-A(2,

le radical partant en æ — 0, de la valeur initiale + 1. Elle coïncide avec la fonction X (x) étudiée au n° 393, en prenant

A +1, D — —:1, C— es PRE, G = Æ2, ERA (Tr), AE) De: H = —:1.

La relation a + b— c + d(—0o) nous place dans Île premier cas du numéro cité; u(æ)est une fonction méromorphe du second ordre ayant |

pour périodes élémentaires. Ses zéros sont les valeurs de x ren-

é 4 n) . ; dant A(x)— + 1; ils sont congrus à + a suivant &w, W/, et aussi

bien à 0) ®1 (on os PRE Te 4 Â 2

r . . . s -W suivant w,, &,. Ses infinis sont ceux de (x), congrus à ESS

suivant &, w’, et à

w w! u)] 1 + W' DASER MT NE Qu:

4 2 4 2 suivant &,, &'. * La constante supplémentaire de (x), pour laquelle on peut

prendre la somme des zéros diminuée de w,, est —0, d'où

H(—æz)= p(r).

421. En conséquence, la fonction du second ordre u(— . + x) à

aux périodes w,, w, a ses zéros etses infinis congrus, les premiers

U) , W 0), +— WW,

à 0, —Jes seconds à -1, “177 T F) 2 0)

; de plus, elle se réduit à (o)=1 w; elliptiques w,, w, (399). Il est facile de calculer son multiplicateur 2, et son module #,.

On a d’abord g, —X\ (0)— #(— #)= (ER =) (397); la

différentiation de la formulé de définition (1) donne

pour x = —. C’est donc une fonction elliptique \,, aux périodes