NN

Vi(a)

et, pour æ = 4, le rapport considéré prend la valeur du der-

nier facteur de l'expression (2). Mais, "comme on a

I à à I \ ss 0)

la valeur de notre rapport en x = « est précisément égale à celle du rapport des dérivées d'ordre # de ses deux termes.

On retombe ainsi sur la célèbre règle de Lhôpital; on a trop souvent le tort de la présenter comme générale, tandis qu’elle est exclusivement applicable au cas où les deux termes du rapport sont olotropes pour la valeur de x qui annule le second.

Fonctions indéfiniment méromorphes.

AT. Stf(x) est méromorphe dans toute l'étendue du plan

servant à la notation graphique de x, et si X désigne une constante quelconque, ou bien chacune des équations numériques

(2) ETES ee

admet quelque racine, soit finie, soit infinie, ou bien f(x) dégénère en une constante.

Supposons que le dernier fait n’ait pas lieu : si l'équation (1) n’a aucune racine (finie), la différence f(u)— X, méromorphe comme f(u), ne possède aucun zéro et par suite son inverse

arithmétique HA x est indéfiniment olotrope (250*, I1), (42),

sans dégénérer en une constante. Cette fonction est donc infinie,

ou, ce qui revient au même, son dénominateur est infiniment petit, pour quelque valeur infinie de w (8), ce qu'il suffisait de. prouver.

Notre proposition est donc vraie pour l’équation (2) aussi, puisque son premier membre est comme f{(u) indéfiniment méro-

morphe (30, Il).

À8. Le théorème du n° 11 donne immédiatement cet autre.

En appelant

(3) 2, % lctnjinis de f(u), puis