I. Comme on peut écrire

2 2 3 n+rl|x n x ! £ Ten — ee — - — —— 122 n nm +I RAT ut x LU n x = 1 — I “= te A LPO I Ÿ 2 À n } n +1 à

Il(æ, »)est égale au produit des(r + 1) premiers facteurs de la série

factorielle 4 FE I\Z 1\x (1+:) (1+1) (1+2) A I 2 An (2) FT æ UE Fe Su FT LE g} LA

ñn X + NE par ( ) ; et comme cette dernière quantité tend vers 1 quelle FES

que soit x, 1l nous suffit de prouver que cette série à un produit indéfiniment méromorphe. Nous pourrions raisonner directement, en nous appuyant sur le théorème général du n° 371; mais ici, il vaut mieux procéder indirectement comme il suit.

Il. En appelant y un entier positif choisi à volonté, puis suppo-

1 VA sant nr >> y, modx<y, et mod sont 1,et l’on a

1272 I T T T HUB E Ne LS N n 72 n VER 3°

ae Æ x? æ3 lfi+ = )= = — — +. FN LE n D 2 n°? 3 n:

où les logarithmes sont, dans la première formule, celui qu’il nous.

faut adopter, dans la seconde celui que nous adopterons; et à

l’intérieur du cercle [y] qui a l’origine O; pour centre avec y pour

rayon, ces deux fonctions sont olotropes, avec des olomètres, 1llimilé pour la première, égal à n — v pour la seconde, par suite toujours égaux à 1 au moins.

En appelant w, le (n +1)" facteur de la série (2), on aura

ainsi

ARRETE I ’ Ra 1 [a?—x TITRES HUE I — | — — ]= — | — Se ÿ D n 2 | 2 3n Ô É

fonction encore olotrope dans le cercle [y], avec un olomètre égal à rt au moins quel que soit » > y. Dans le même cercle en outre, on a évidemment, quelle que soit x,

I V2 y VEN) VE + y mod /(u + ————— © +...

(un) < | D 3(v+1) 4(v+1}? | quantité positive où la série entre crochets est visiblement convergente, et qui est elle-même le terme de rang n dans une série convergente (273, I).

On en conclut (275* bis) que, dans le cercle [y], la série

(3) LQuy1) + l(uyrs) +...

a pour somme une fonction de æ, f,,:,(x), qui y est olotrope avec 1 pour olomètre, puis, en repassant des logarithmes aux nombres, que l’on a

Uy+1 Uyys ... = fra),

fonction de æ encore olotrope dans le même cercle avec le même olomètre.

Le produit F,,,(x) des (v +1) premiers facteurs de la série factorielle (2) étant d'autre part une fonction de æ évidemment méromorphe à l’intérieur du même cercle, cette série a un produit

Fi (Cr ) ef y+1lx)

qui jouit de la même propriété, qui, par suite, est indéfiniment méromorphe, puisque le rayon y de ce cercle est arbitraire.

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