I. Pour seuls infinis, tous simples, elle a les entiers non

positifs

On = NM — 2, HT, O.

Car on a (435, IL) (4) T(r)= Fyn(zr)eftn, et dans le cercle [v] de rayon quelconque, le dernier facteur ne peut ni s’évanouir ni devenir infini puisque c'est une exponentielle

dont l’exposant est'olotrope, tandis que le premier facteur a évidemment les seuls infinis

tous simples.

Il. Le résidu de T(x) relatif à l'infini — K est

Car en faisant x — — k dans le produit de l'expression (1) par æ + k, il reste le produit de cette quantité par l’expression

OR ER en à MN OU RE

qui a 1 pour limite. | Les fonctions simples fournies par la décomposition de Ha (39) forment donc la série

I L I 1 IN DDASS ER

ayant visiblement pour somme une fonction Y(Z) indéfiniment méromorphe. La différence

est donc indéfiniment olotrope.

UT. Za fonction T(x) n'a aucun zéro.

Car le premier facteur de l’expression (4) n’en a point, ni le second non plus dans le cercle [v] comme nous l'avons déjà dit (D).

; I Lee ’ ‘ | :

Il en résulte que NES) est une fonction indéfiniment olotrope;

elle l’est effectivement aux infinis de (x) puisque celle-ci y est méromorphe (42), puis partout ailleurs comme inverse arithmétique d’une fonction qui y est olotrope sans s’évanouir (250*, [IDE

IV. L'expression (1) étant, quel que soit n. réelle pour toute ( sq I ) P

valeur réelle de x, et positive pour toute valeur posiuve de +, ilen est de même pour sa limite T(x). |

Quand x est réelle, cette fonction ne peut changer de signe qu'aux moments où æ passe par ses infinis, puisqu'elle ne peut s’évanouir (IT); et alors son signe change effectivement, parce que tous ces infinis sont simples (1). Comme elle est positive de + —=0 à æ — +, elle est donc négative de o à — 1, redevient positive de — 1 à — 2, etc.

On a (5) P()= 7, à cause de

LL GLS n ) = n Ei °

437. De ce que nous avons dit tout à l’heure (435, ID), et du n° 279* bis, il résulte que la série (3) est de celles qui peuvent être indéfiniment différentiées ou intégrées terme à terme. En considérant donc T(x) comme le produit de la série factorielle (2er prenant les logarithmes comme nous l’avons fait, il vient

IT (x) = IDE (ui) +. + U(ün)+..4

puis en différentiant une fois

URANTT Te (6) Brasseries 1) : ]-

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