CHAPITRE XIIIL — FONCTIONS EULÉRIENNES

On a d’autre part, pour 7 > 0,

(7) Li - Eee sie , — = — Rd Cns 4 n ( D + n+i f; où I DCE I FD Chr —= — - Lu — __—— ds () +56) ; et la série (8) C1+Co—+e.. Cp...

est convergente, à cause de :

Il } I ï c - , Sn ei I Tune pe I — nn e—., nm —I

terme général d’une série convergente (273, [). En faisant donc la substitution (7) dans le terme général de la série (6), sommant à part les quantités c, et représentant par — C + 1 la somme de la série (8), la formule (6) prend la forme suivante, qu’on lui préfère,

MAD) T'(r) 1 I I I Fo = — ——C+(-—-)+ft-— — )dx Le I æ 2 1+ x I I +(i =)

La quantité C, valeur de — T'(1) à cause de T(1)—1, est positive; des artifices que nous ne pouvons rapporter donnent effec-

uvement CE 0,57721504000;

On la nomme la constante d’Euler.

438. En différentiant encore l’une ou l’autre des relations (6), (9), on arrive à cette autre

diT(æ) © 1 I 1

(10) dx? ga (æ +1)? (æ+n)

très simple et très employée aussi dans les questions se rattachant à la théorie de la fonction FT.

Elle donne des indications utiles à la discussion de F(x) pour

des valeurs réelles de x. Comme alors son second membre est

essentiellement positif quand il n’est pas infini, Fes 7) Gont il est la

dérivée est une fonction toujours croissante ne Son par suite éprouver qu'un seul changement de signe, en s’annulant, entre deux infinis consécutifs de T (x), de o à + aussi, et l'(x) jouit de la même propriété parce que (x) conserve un signe constant dans chacun de ces intervalles.

D'ailleurs ce changement de signe unique s'effectue toujours : 1° entre o et + co, pots une valeur à de x comprise entre 1 et »,

parce que Tee 1 S'évanouissant pour æ = 1 et — 2 (436, IV), .

(439, inf.), sa dérivée l'(x) s’annule certainement dans cet intervalle (23); 2° entre — 1 et o, parce que, e étant une quantité posive infiniment petite, T(x) est infinie négative, partant croissante en æ— — 1 ++, infinie négative encore, partant décroissante CNT Re IEC:

De z—=0oàù x —u, T(x) décroît donc de. à un certain minimum (positif et << 1), pour croître sans cesse ensuite dex = y à æ — +, et cela indéfiniment (439, inf.).

439. Nous passons aux propriétés spécifiques de cette fonction. On a l'identité

(11) T(x+1)=zxT(zx).

Car la formule (1) donne immédiatement

I(z+1, 7) n = D —— ; I(x, n) T+ TR HA

où le dernier facteur tend vers 1.

Quand x est un nombre entier positif N, cette identité combinée avec l'égalité (5) conduit immédiatement à