CHAPITRE II. — FONCTIONS MÉROMORPHES

disant qu'une fonction rationnelle est toujours méromorphe à l’infini, olotrope même quard M < 0; que dans ce dernier cas elle y a un zéro de degré —M; qu’elle y a au contraire un

infini de degré M, «5 M>o.

52. En supposant f(x) rationnelle, l’application de la formule (14) du n° 39 à la totalité des infinis de cette fonction donne un Lerme complémentaire f,(æ) qui est nécessairement rationnel comme excès de la fraction rationnelle f(x) sur la somme des fractions simples commençant le second membre, et qui par son origine est dépourvu de tout infini; £/ se réduit donc à quelque polynome entier (pouvant être identiquement nul)

(#7) Aoæb + Ami... + Au,

et la formule considérée fournit ce qu’on nomme la décomposttion de f(x) en fractions simples.

La recomposition du groupe des seules fractions simples donne . une fraction rationnelle dont le numérateur a un degré nécessairement inférieur à celui de son dénominateur; celle de tout le second membre de la formule de décomposition reproduit la fraction rationnelle proposée. On en conclut facilement que le polynome additionnel (7) est précisément le quotient de la division algébrique du numérateur de f(x) par son dénominateur.

Si donc M est 0, c’est-à-dire si le degré effectif du numérateur de f(x) est inférieur à celui de son dénominateur, ce polynome se réduit identiquement à o, et {a décomposition de f(x) ne donne absolument que des fractions simples.

Si ces degrés sont égaux, on au — 0, et le polynome en ques- Lion se réduit à une constante. Comme, pour æ& infinie, la somme des fractions simples est infiniment petite, la valeur de cette constante est égale à la limite de f(x), c’est-à-dire au rapport des coefficients des termes de plus hauts degrés dans les deux termes de cette fonction. |

Si le premier de ces degrés surpasse le second, on à pm = M.

53. C’est au moyen de la division algébrique que l’on calcule le plus volontiers le polynome additionnel (7); mais on peut aussi

l'obtenir par un procédé analogue à celui qui a fourni chacun des groupes de fractions simples.

à | ; s ; ; Le changement de variable x — nd exécuté dans cette même for-

mule (14) du n° 39, donne facilement

(1) AD m'ba—1 A more Te 0 (l— 043 Zi I— UT ] SRE A0 At (8) = f(—-)=li-.-rsccsssessss.s. san + — À ++, LLCNT (y) Al # A qu æ'Ut—1 Ah Sante ÿ (a );x int (—ayT

et l'expression entre accolades est évidemment olotrope en Æ'— 0. Les fractions simples venant à la suite de cette expression sont

; À + I I donc celles qui dans la décomposition de — (=) correspondent a T

à l'infini +! de cette nouvelle fraction rationnelle; et la méthode du n° 37 fournira leurs numérateurs, c’est-à-dire les coefficients

du polynome (5).

514. Les observations du n° 50 ont des sortes de réciproques fort utiles à connaître.

St une fonction indéfiniment méromorphe f(x) possède des zéros et des infinis en nombres limités, elle est nécessairement rationnelle, quand pour aucune valeur infinie de x le rapport

n'est, soit infint, soit infiniment petit, M désignant ici l’excès de la somme des degrés de multiplicité des zéros sur celle des degrés des infinis.

En appelant. @,,%°.", ae les zéros de f(x), et a infinis, puis M, ..., Mg les degrés des uns, 1,, ..., u} ceux des autres, le rapport

f(æ) = (T — à; )P, A (x en Ar)"g | (T— di)... (x — ay x

est, d’après le n° 31, une fonction indéfiniment olotrope, dépourvue de tout zéro proprement dit. Pour des valeurs infinies de +, 1l se