CHAPITRE II. — FONCTIONS MÉROMORPHES

présente d’ailleurs sous la forme

e, n étant des infiniment petits. Si donc l'expression (9) n’est, par exemple, infinie pour aucune valeur infinie de +, il en est de même pour cette dernière fonction olotrope qui se réduit ainsi (8) à quelque constante À ; d'où pour f(x) la forme rationnelle (6). De même, pour le cas où l’expression (9) ne serait infiniment petite pour aucune valeur infinie de x, ceci d’après le n° 9.

99. St la fonction indéfiniment méromorphe f(x) possède des infinis en nombre limité, elle est encore rationnelle quand elle est méromorphe même à l'infini (51).

En vertu de cette dernière hypothèse, et en appelant 4 quelque entier positif, on a (37)

84 A À; Au Fe , ù ET pe TR A. Ste . Fa nl tn A M pe Î T

f( ) re | ru æ ur fCæ'),

f(x!) représentant une fonction olotrope et nulle en z'—o, ou bien en revenant à la variable x

(10) JT) (AoZb + AyzUi tt... + A,)= f(x),

cette dernière fonction étant comme f(x) indéfiniment méromorphe avec Jes mêmes infinis, mais, de plus, infiniment petite pour toutes valeurs infinies de x.

L'application de la formule (14) du n° 39 à la décomposition totale de fée) donnera donc

> désignant la somme des groupes de fractions simples correspondant aux divers infinis de f(x), et f,(æ) une fonction indéfiniment olotrope. Mais cette dernière, différence des fonctions ue) et > toutes deux infiniment petites pour + infinie, l’est aussi, par suite non infinie ; elle dégénère donc en une constante (8), et celleci se réduit à zéro puisque nous venons de constater que f,(æ) est nulle pour x infinie.

La combinaison des relations (10), (11) donne ainsi f(æ)=2+AoTt + Ati... + An,

formule entraînant ce qu'il fallait prouver.

En recomposant le second membre en une fraction rationnelle irréductible, on aperçoit immédiatement que le degré de celui des deux termes où il est le plus grand est égal à a augmenté de la somme des degrés de multiplicité des infinis de f(x).

Principes du Calcul des résidus.