FONCTIONS OLOTROPES D'UNE SEULE VARIABLE EN GÉNÉRAL

Zéros simples et multiples.

1. Les fonctions d’une seule variable ont une grande importance, soit parce que leurs propriétés spéciales sont nécessaires à l’étude de celles des autres, soit parce que la facilité relative de leur théorie a permis d’en découvrir an nombre bien plus grand. Nous commençons naturellement par celles qui demeurent olotropes dans des aires données, en signalant d'avance au lecteur la presque identité de beaucoup de propositions avec les principes de la Théorie des équations algébriques.

St f(x), supposée olotrope dans l’aire quelconque S, mais non identiquement nulle, s’y évanouit pour x = a, on a identiquement | (1) J(t)=(x— a)" fo(x),

m désignant quelque entier positif et f(x) une fonction qui M. — II. 1

est aussi olotrope dans toute l'aire S, mais qui ne s'évanoutt plus pour x = 4.

Par hypothèse f(a)— 0, mais les dérivées de f(x) ne peuvent pas s’évanouir toutes en &, puisque nous supposons celte fonction non identiquement nulle (187*) (!). En appelant donc m l’ordre de la première des quantités f'(a), f”(a), ... qui n’est pas nulle, la formule de Taylor donne immédiatement la relation (1), pourvu que l’on y prenne

(mn) F(m+1) à J'AI TEAOS

PER AC Fa Apue

(2) Jo(æ) = Cette nouvelle fonction est olotrope dans toute l’aire S, savoir : 1° dans une aire partielle Sa délimitée autour de a de manière que la distance de Pun quelconque de ses points à & reste inférieure à quelque quantité positive, inférieure elle-même au rayon de convergence de celte série entière en æ — &, parce qu’elle y est précisément représentée par la somme de la même série (141*); 2° dans le surplus de l'aire S, parce que (x— a)" ne s’y évanouit pas et que, d’après la relation (1), fotæ) est de la forme

rapport de deux fonctions, olotropes dans ce surplus, dont la seconde ne peut s’y annuler (250, LIT). |

Pour x — &, la formule (2) donne d’ailleurs

quantité que nous supposons non = 0.

2. Réciproquement, si l'identité (1) a lieu, f(x) y désignant une fonction olotrope et non nulle en x — à, cette valeur de x annule f(x)et ses m—1 premières dérivées, mais non la mire,

Pour æ—a, la fonction o(x)—(x — a)" s’annule avec ses m — 1 premières dérivées, mais o(#/(a)—1.2...m est essentiel-

(!) Dans ce Volume, un numéro de renvoi visera la première Partie de l’Ouvrage

ou celle-ci, selon qu’il sera affecté d’un astérisque ou d'aucun.