L'équation binome numérique (1) ER CE

où l'exposant m est un entier positif, se résout comme il sure. Quand X est —0o, elle a pour racine unique U—=O, au degré m de multiplicité (3).

Quand X est <o, en appelant U la valeur acquise par

I ° FU / EN 2) au bout de quelque chemin tracé à volonté de x —1

à x = X, elle a pour seules racines, toutes simples, les m quantités non nulles et toutes inégales (102, 11)

LOL (2) U, æ()U æ(-) U,. PVR mP me) m m \/n

ou bien, ce qui revient au même (91),

(3) U. æ(+)U. e(7)u. no (tv.

nm nt nt

Le monome w” élant une fonction indéfiniment olotrope de w, le théorème du n° 11 est applicable à l’équation dont il s’agit.

La dérivée première de uw” est mu", fonction qui s’annule pour w —o seulement. Si donc X —o, celte valeur nulle de « vérifie l'équation (1); elle en constitue la seule racine, et son degré de multiplicité est m, parce qu’elle annule aussi, jusqu à l’ordre m — 1 seulement, les fonctions

mum-1, m(m—ijum-?, ..., m(m—i1).. 241, 00

dérivées successives par rapport à & du premier membre mis sous la forme normale.

Quand X est non — 0, le zéro unique de la dérivée mu”! ne satisfait pas à l'équation proposée, et celle-ci ne peut avoir que des racines simples. Comme l’équation