CHAPITRE III. — FONCTION RADICALE SIMPLE

107. Au sujet de ces racines, et en excluant le cas où X — 0, nous avons à faire les observations générales qui suivent.

1. En posant modX — =, toutes ont pour module commun « TT ; : ; ; as A EAST la quantité Y, détermination réelle positive de Cr ; =).

C’est ce qui résulte immédiatement du n° 95.

Il. Z'les sont représentées graphiquement par les sommets d’un polygone régulier de m côtés, inscrit dans la circonférence de rayon Y qui a l’origine O, pour centre. Et st l’on part de U pour y revenir, en marchant sur ce polygone de manière à rencontrer successivement les racines dans l’ordre (3), on exécute une révolution de sens direct autour de O4 (pourvu toutefois que m soit = 2).

Comme les quantités NÉ done NT D, : croissent en progres- V'mTm m o

sion arithmétique dans l'intervalle de u — 0 à —1, les m points

| D WA M—1\ P[ — p dt CURE à 2 so 4 (=) j (2) | ( m |

sont les sommets d’un polygone jouissant de toutes les propriétés

énoncées, à cela près que le rayon de sa circonférence circonscrite est — 1 (101, VIT); et l’on peut passer des quantités (5) aux quantés (3), en multipliant toutes les premières, d’abord par Y, puis

par + clef de U (72*).

Or la première multiplication transforme le polygone (5) en un autre homothétique, dont la circonférence circonscrite a Y pour rayon ; quant à la dernière, elle imprime à ce nouveau polygone une simple rotation autour de l’origine O, (86*).

IIT. Quand X est une quantité réelle positive, on peut prendre

pour U la détermination réelle positive de vla no Les seules

quantités réelles contenues dans la suite (3) sont alors Ü st m est impair, et E UÜ st m est pair. | Dans le premier cas en effet, r est le terme réel unique de la

1 m I! I suite (5); dans le second, on ytrouve encore D (= =) — (:) — — 1,

mais aucun autre (101, IV).

104 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS D’UNE SEULE VARIABLE. 108. Les racines de l’équation (1) sont ce qu’on nomme les

: "s te UT . Mer.

racines mème de la quantité X. On représente par le signe ÿX

1 ; ou bien encore X”* (118, snf.), tantôt l’une d’elles spécifiée convenablement, tantôt l’une ou l’autre indistinctement. Dans ce dermier

; rte k cas, et pour X non — o. ces notations équivalentes à ol EN 7) 1 ) m 1

sont essentiellement ambiguës, puisqu'elles ont »m déterminations inégales.

; ee je ; : | Quand X est réelle positive, ÿX représente habituellement la

’ L = » se I . .

détermination réelle et positive de 4 (ee x). On à ainsi, par

exemple, mod YX = ‘mod X.

Les règles du calcul des radicaux imaginaires résultent toutes des combinaisons variées auxquelles se prêtent les formules fondamentales des n° 74 et suiv. (ou 81). On peut dire qu’elles sont les mêmes que pour les radicaux arithmétiques, sauf la nécessité de choisir convenablement les déterminations des expressions ambiguës.

109. Quand X a la valeur 1, l'équation (1) devient (6) Ut = Ye

et ses racines, ou racines m°"®% de l’unité, acquièrent des propriétés spéciales qui leur assignent un grand rôle dans beaucoup de circonstances. Il nous faut consigner les principales en passant.

[. Pour calculer U — Ÿ{ md. x) de T = 1à NN \ /

prendre un chemin de dimensions nulles, et par suite U —:1.

Ainsi done les racines de l’équation (6) sont précisément les

m quantités

XX, LE nr

LA 20 mi == 418 1, æ (= : (2 | RAIN ESS 4 \ mn m m 4

toutes de module 1, mais inégales.

Le polygone régulier de m côtés dont elles sont les sommets (107, IL) offre cette double particularité, d’être inscrit dans une

CHAPITRE III. — FONCTION RADICALE SIMPLE. 105 circonférence de rayon 1, et orienté de manière à avoir toujours un sommet au point 4 — 1.

Il. La suite (5), qui contient toujours le terme réel 1, ren-

ferme en outre ® (2 =) D (2) — —1 quand m est pair,

RAM I Ch 2 SEC 3 2 N avec (7 = )=v()=i et | s)=2()=#— 5 4e 4 He 11t | 4

quand m est multiple de À (AO, 1).

III. Toutes ces racines (sauf 1 et aussi —1 quand m est pair) sont deux à deux réciproques, en méme temps conjugucées.

On a effecuvement, quel que soit g,

p(É)e (EE) = #6) =,

FN ET IPORNITe

carré du module commun aux deux facteurs (91), (101, 1), (73*).

IV. Comme, dans la suite (3), U représente au fond une racine de l'équation (1), dont le choix s’est fait arbitrairement, toutes les déterminations du radical YX-s’obtiennent en multipliant une seule quelconque d’entre elles par chacune des m racines mime de l’unité.

110. Le produit des racines (7) élevées à des puissances d’exposants entiers quelconques (positifs, nuls ou négatifs) Ko, PU Kn régénère toujours quelqu’une des mêmes racines.

Effectivement (91) ce produit se met immédiatement sous la

forme

pe ..+(m — | — s(po(r) a æ(T) mn mt

LA

où q, r représentent le quotient et le reste (posiuf) de la division de o.k, +r.ki+...+(m—1)k#m:1 par m.