En particulier, la progression géométrique

œ * (22 39 Re a b(* (2 KE) æ( m ) ft £) f m ) É

106 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS D’UNE SEULE VARIABLE. formée par les diverses puissances d’une même racine quel-

(02 (el

conque D (£

) ne contient que des racines, et même elle les

renferme toutes dans des cas qu'il importe de spécifier. Soit d le plus grand commun diviseur (pris positivement) des entiers m, g, et posons m»m — dm, g — dg', en sorte que m/, g!

soient des entiers premiers entre eux, le premier positif. Pour que

les deux termes œ( æ), D

Ko . .

( & ) de celte progression soient

égaux, 1l faut et il suffit que leur rapport

set | 4 ESS

ssh j À ; :

SE se réduise à

soit égal à 1, et pour cela (101, V) que

quelque entier, c'est-à-dire que #2 — k, soit divisible par m! puisque 2’ est premier à m'. Un groupe de m! termes consécutifs dans la progression n’en comprend que d’inégaux, mais ensuite chaque terme se reproduit indéfiniment à m/ rangs d'intervalle dans les deux sens. Les seules racines de l’équation (6) qui se trouvent dans la progression sont ainsi celles du groupe

Fa PE (m'—1)£ \e A ) ’ P[— }; CRE; P | —— ; me. m m

et leur nombre m' est en même temps l’exposant de la plus

vi 2 ; À MEL £ : : :

faible puissance de la racine considérée & (#) qui puisse étre égale à 1. On exprime ces deux faits équivalents, en disant que la racine en question appartient à l’exposant m!.

Quand g est premier à m, on a d—1, m— m, g'—= p, et la “ Ai e Le A \ à racine D(£) appartient au nombre m lui-même, c’est-à-dire

que ses diverses puissances reproduisent toutes les racines de l’équation (6), et qu'aucune d'elles ne peut être égale à 1 si son exposant n’est pas divisible par m.

Ces racines appartenant ainsi au degré mn lui-même de l'équation considérée (6) sont les plus remarquables et ont reçu le nom de racines primitives. Elles sont en nombre évidemment égal à celui des entiers positifs g inférieurs et premiers à m, à m —1