CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

équation (i) devient ainsi

et l'entier A"|, ainsi que le polynôme n^^(u^J réduit à ses termes eflectifs, sont caractérisés par ces trois particularités essentielles qui suffisent à leur détermination : i" à cause de la nature monôme de la substitution, ce polynôme a pour coefficients ceux mêmes de certains termes effectifs de la série f{x^ w); 2** puisqu'il s'évanouit pour u^t, = ^k^J quantité essentiellement supposée non =o, il contient au moins deux termes effectifs] 3** j;^*in^^(u^^) est V ensemble des termes effectifs de moindre degré commun en x {en nombre >2) dans V expression (36) ordonnée par rapport à x.

Soient

deux termes effectifs (dissemblables) àef{x^ i/), donnant dans la série (36) les termes de degrés égaux en x

cas auquel, en appelant t la valeur commune de ces degrés, on a soit encore

(39) Ar,i^'-W',

quelque autre terme eflectif de f{x, u) en dounant un dans la série (36), dont

est le degré par rapport à x.

Les équations (38) conduisent d'abord à

r't'— i-'4'= -■:(*'- s'), kx{r's'— r's') = T(r'— /•'),

d'où

parce qu'on ne peut avoir ni s' — s"=^r' — /•''=o, à cause de la dissemblance des termes (3^), ni t = o. Combinées avec l'équation (40)7 elles donnent facilement ensuite

en vertu de quoi la différence t — 6 est nulle, négative ou positive, selon ^que le second déterminant est nul, de signe contraire ou identique à celui du premier.

Pour que les termes (Sy) fournissent à quelque poljnome de la nature de Il^tX^*,) les termes

il faut donc que le déterminant (4i) ne soit pas nul, puis que pour tout autre terme (89) on ait 6^t, c'est-à-dire que le second des déterminants dejla relation (42) soit de signe contraire au premier, ou bien encorde nul, cas auquel Ar^s^ii ^^^ aussi un terme du même polynôme.

Les termes de coefficients A^'^,', Ar^s'i ^r^^s'i • • • qui peuvent appartenir à un même polynôme de cette espèce ayant été tous découverts ainsi, les équations (38) et analogues donnent ensuite

(43) Ai = -

et il faut en outre que cette valeur de k\ soit un entier positif. Ces trois conditions sont évidemment suffisantes et permettent d'abord d'obtenir les valeurs dont l'exposant k^ est susceptible pour les diverses racines de l'équation proposée (i), puis de former pour chacune d'elles Téquation numérique

(44) nx,(u,,) = o,

dont les racines non nulles sont seules à garder, aux mêmes degrés de multiplicité, comme valeurs possibles de a^^.

Pour obtenir ensuite le second terme effectif de quelque racine olotrope

(45) ak.x^t -4- ak.xfit 4-. . . ,