CHAPITRE IV. -^ PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

dont le premier a été ainsi calcule, il suffit de chercher, comme nous venons de l'expliquer, le premier terme effectif d'une racine olotrope infiniment petite Uj^^ de Téquation

qui est de même nature que la proposée (i), ou bien, ce qui revient au même, de poser

dans la série (36), puis d'y opérer, relativement à A'2, ^, ^k^, exactement comme nous venons de le faire relativement à A'i, Xy u^. .

Du second terme effectif du développement (45), on passe au troisième par les mêmes moyens, et ainsi de suite.

La découverte d'une racine secondaire Uj^. identiquement nulle, de degré de multiplicité m, indiquera que le développement commencé n'a plus de termes effectifs postérieurs à aj^^a/^'j c'est-à-dire que la racine olotrope correspondante de l'équation (i) se réduit au polynôme entier

avec le même degré de multiplicité m.

Les équations numériques (44) ^^ subséquentes que ce procédé permet d'enchaîner les unes aux autres coïncident d'ailleurs avec celles de la méthode générale, dépouillées de leurs racines nulles, et les conséquences à tirer de leur discussion sont exactement celles du n*» 137.

139. La formation des équations numériques analogues à (44) (et de toutes celles subséquentes enchaînées avec elles dans une suite plus ou moins ramifiée) est singulièrement facilitée par le manuel graphique ci-après expliqué. Il a pour base la représentation préalable des paires d'exposants

de tous les termes effectifs de /(^, u) [puis ultérieurement de f{x^ ayt^a:*i-H WjtJ, . . ., nouvelles séries entières en x, Uj^^, . . .], par des points ayant respectivement les premiers et seconds éléments de ces diverses paires, pour abscisses et ordonnées dans un

système de coordonnées reclllignes planes dont, pour fixer les idées, nous supposerons les axes, le premier horizontal, le second vertical. Comme ces exposants ne sont jamais négatifs, tous ces points ou jalons tombent nécessairement sur les parties positives des axes et dans leur angle. Pour /(^, u) aucun d'eux ne peut se trouver à l'origine, parce que cette première série est supposée ne point avoir de terme constant.

Considérons maintenant la droite Cô menée par deux jalons (r'j 5'), (/•", /) représentant des termes de /(x, «), propres à en fournir deux correspondants dans une équation du genre de (44)- La première condition analytique à laquelle sont assujettis ces exposants, la non-nullité du déterminant (4 1), impose à la droite cô la condition géométrique de ne pas passer par Vorigine. La deuxième impose à la même droite celle de contenir tout jalon (r, s) correspondant à quelque autre terme de la même équation num>érique et de partager le plan des axes en deux demiplans contenant le premier V origine, le second la totalité des autres jalons. Car, en appelant r, s les coordonnées courantes, Féquation

représente précisément la droite (JE), et 1° le jalon (r, s) est situé sur elle quand le second des déterminants (42) est nul, 2** il tombe ou non par rapport à elle du même côté que l'origine, selon que les signes de ces deux déterminants sont identiques ou opposés. Quant à la troisième condition, elle impose d'abord à la même droite celle à^ avoir sa parallèle par V origine dirigée à V intérieur des angles des axes opposés au sommet, où les coordonnées d'un même point sont toujours de signes contraires. Il en résulte que toutes les droites (0 ne peuvent se trouver que parmi les / droites CO,, (JO2, . . . , 00/ dont nous. allons assigner les positions. Appelant So la plus faible valeur de s dans les couples (46) et To la plus faible valeur de r dans ceux où 5 = 5o, nous tracerons d'abord par le jalon (/'o, Sq) une droite horizontale (Qq qui évidemment ne laissera aucun jalon au-dessous d'elle, et n'en contiendra point à gauche de celui-ci ; puis nous la ferons tourner autour de