CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DBS FONCTIONS IMPLICITES

I. Comme dans S^? la fonction implicite u déterminée par la valeur initiale qu^on lui impose en Xq est localement olotrope partout ailleurs qu'aux valeurs critiques (4) (^)) il ^st certain, pour la raison déjà invoquée au n? 86, que Vun quelconque des chemins considérés est laissé équivalent à lui-même (c'est-à-dire qu'il ne cesse pas de conduire pour u à la même valeur finale en a.) par toute déformation ne lui faisant franchir aucun des points dont il s'agit.

Si donc on trace par x^^ à volonté mais une fois pour toutes, des boucles (ou lacets)

(10) (ai), (a,), ...

dont chacune (a) enveloppe une seule fois le point correspondant a à Fexclusion de tous les autres, puis un chemin [jtoX] conduisant à X, que nous appellerons encore simple comme au n°87, tout autre chemin tracé de Xq à X équivaudra visiblement à quelqu'un de ceux qu'on peut former en parcourant d'abord des nombres de fois respectivement donnés, dans des sens de rotation (directs ou rétrogrades) respectivement donnés aussi, telles ou telles des boucles (lo) (i i) rangées dans un ordre de succession déterminée, puis après elles le chemin simple [xqH]. Cette observation réduit l'examen de tous les chemins imaginables à celui des tracés qu'on peut former en plaçant avant le chemin simple les diverses combinaisons de ces boucles.

II. Le parcours d'une boucle (ù) de Xq k Xo^ y ramenant u à une valeur que laisse invariable toute déformation de cette boucle ne lui faisant franchir aucune des valeurs critiques (4) (5), nous pourrons évidemment la former : i° d'un chemin [:rotl'] tracé dans son intérieur jusqu'à un point ù' jouissant des propriétés spécifiées dans le n° 162; 2° d'un anneau [a] passant par a' en enveloppant a une seule fois et de telle sorte que la distance maximum de tous ses points à ù soit inférieure aux plus petits des rayons de convergence des développements des racines de l'équation (i) qui ont pour limites les quantités (6) quand x tend vers ù] 3® du chemin [a'oTo], géométriquement identique à [^o^']> t^^i^

parcouru en sens contraire; et nous donnerons la même forme spéciale à chacune des autres boucles (lo) (i i)*

III. Supposons maintenant qu'il s'agisse rf'w/i chemin (^o^) réductible à la boucle (o) à parcourir une seule fois avant le chemin simple [xqX], et soient b^°^ la valeur acquise par u en a'

après le parcours du chemin [^roCl'J, puis ^^^if\ [x — a)^J celui des développements des racines de Téqualion (i) tendant vers b quand x tend vers (l, qui prend la valeur b'°^ pour x = II'.

Si V = I, le parcours de l'anneau [û] ramène u en o' à sa valeur primitive b^®^ = ^^^^L(tt' — a), et le parcours ultérieur de [û'j:©] ramène u en Xq k sa valeur initiale. Les choses se passent comme si la boucle (a) n^ avait pas été placée avant le chemin simple.

Mais si v est > i , et si Ton nomme a la racine principale directe de l'équation binôme

le parcours de l'anneau [rt] fait passer {x — a)^ de (rt' — n)* \en désignant ainsi la valeur qu'il faut attribuer à ce radical en a'

pour que <®^i|^[(a'— 0)^J = bf<'V ^ a-'(a'-— a)^ selon que le sens de rotation est direct ou rétrograde (126), et u revient en o' avec

une nouvelle valeur b^-*^ = ^®^t}/[a-' (a' — û)^J. Le parcours postérieur du chemin [û'^o] ramène u à une valeur différente de sa valeur initiale, et la dernière marche à faire sur le chemin simple [:roX] conduit cette fonction en X à une v^aleur finale différente aussi de celle qu^ elle y aurait atteinte sans V adjonction de la boucle {d) faite en tête de lui.

Pour V = 2 on a a = a~* = — i , et le sens du parcours de la boucle (û) est sans influence sur le résultat (113).

IV. Quand la boucle (rt) doit être parcourue k fois dans le sens

direct ou rétrograde, les choses se passent de la même manière,

à cela près que le passage de a' à a' sur l'anneau [û] multiplie

par or^* la valeur primitive du radical [x — a)^ (126), et qu'ainsi u

passe de bto)==f»^'}[(a'— a)^J à bf~*J = to)t]>[a=^*(a'— û)^].

Si Â: n'est pas divisible par v, V adjonction de cette boucle multiple change comme ci-dessus la valeur finale en X que le che-