CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

uns des autres, soit par leurs composantes d/(^) (olotropes ou méro-

morphes), soit par les valeurs des radicaux de la forme (x — ûy à y substituer à t. Appelons enfin

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les groupes de valeurs numériques dont il s'agit.

Quand x arrive en a', u atteint une valeur nécessairement égale à quelqu^ine b^''^ de ces quantités. Cela posé, il est évident que, quand x passe de a' à a par un dernier pas, u offre b/ pour valeur finale {finie ou infinie), et qu'en a; = a, a est olotrope, méromorphe ou rhizomorphe selon que b/^ est la valeur numérique qu*a prise en :r = a' un développement de la nature homonjme.

163. Il est bon d'observer qu'on pourrait encore achever le cheminement d'une manière directe, c'est-à-dire à l'aide d'un développement de M, fait à partir d'une valeur de x non égale à (I, mais suffisamment voisine de cette quantité.

I. Supposons d'abord que l'on ait a = o, que u y prenne la valeur finale zéro, et nommons n un entier tel que toutes les racines de l'équation

qui s'évanouissent pour r =:o, y soient olotropes (141).

On peut évidemment délimiter une aire Sf renfermant l'origine r = o, de plus assez petite pour que toutes les racines considérées de l'équation (8) y soient olotropes; on pourra donc choisir dans cette aire une valeur f/ de Xj à module suffisamment petit pour que les développements de toutes ces racines, faits à partir de f/, aient des rayons de convergence tous supérieurs à modfi, et par suite, pour qu'en y faisant r = o ils convergent, eux et aussi les séries formées par les modules de leurs termes.

Si donc on prend Xi= r^, il est certain que le développement à partir de Xi d'une racine quelconque de l'équation (i) s'évanouissant avec x converge pour x = Oj quand bien même cette

racine n*y serait pas olotrope. Effeeti veinent on peut le former en substituant à r — T/ dans le développement de la racine de l'équation (8), dont les modules des termes forment une série convergente pour x^=o comme nous venons de le constater, celui

1 i de x^ — x" en série entière par rapport k x — x/, lequel jouit de

la même propriété en x = o, et dont la somme a précisément pour module celle de la série formée par les modules de ses termes,

cela à cause de o<C - < i (72, I injine).

En prenant donc xi suffisamment voisin de û, le cheminement qui conduit x en û(= o) peut être achevé comme si cette valeur n^ était pas critique, par un dernier développement de u construit à partir de Xi,

II. La même conclusion subsiste évidemment quelle que soit la valeur de d, quand u y prend la valeur quelconque b ; car la discussion se ramène à celle de quelque racine a' s'évanouissant avec x', de Téquation de même nature

/{a-hx', b-f- u) = 0.

C'est elle, avec celles des n**' 160, 161, qui assure l'exactitude des observations faites à la fin des n"' 12, 48.

III. Quand u est infinie en x = ù^ les choses se passent de la même manière, à cela près qu'il faut substituer à la considération de u celle de la racine correspondante u' de l'équation transformée (3).

164. Traitons encore cette troisième question qui se présente fréquemment.

Appelant Xq , X deux valeurs non critiques dex, données dans l'aire Sx^ distinguer parmi les racines de l'équation numérique

celles qui sont les valeurs finales de u calculées par cheminement, à partir d'une même valeur initiale i/o {ou schéma) en Xqj sur les divers chemins qu'on peut tracer de XoàH dans cette aire.