III. Il est maintenant évident que

représente la valeur finale de u en IL après le parcours d^un chemin réductible au chemin simple précédé des boucles enveloppant les valeurs critiques et décrites A^, A'2, . . . , kg fois respectivement dans un sens ou dans l'autre.

Ici le résultat est absolument indépendant de Tordre dans lequel les diverses boucles se succèdent, ce qui n^a pas lieu nécessairement dans les autres cas.

IV. Considérons enfin la boucle de l'infini (x>), pour laquelle il suffit de prendre la quantité d'^ avec un module supérieur à tous ceux des valeurs critiques proprement dites, et dont on peut former l'anneau avec une circonférence ayant l'origine pour centre et moda[^ pour rayon.

Si N désigne la somme (algébrique) des exposants /i| . n^, . . .-, n^, on a (50, II) pour les valeurs de x dont les modules surpassent tous ceux des valeurs critiques, en particulier sur l'anneau [00], le développement

/(ar)=HoiF^-f-Hia?>'-ï-+-Hja?^-«-i-..., puis

u = j;"»(Hi-h Hia:-»-4-...),

expression dont le second facteur ne peut s'évanouir pour aucune des valeurs de x que nous considérons.

En appelant ici N', m' les quotients de N, m par leur plus grand commun diviseur, et dm' I^ racine principale directe de l'unité dont

rindice est m', le parcours direct ou rétrograde de Tanneau multiplie le premier facteur par a^?' parce que j: tourne une fois autour de l'origine (119); il ramène d'ailleurs le second facteur à sa valeur primitive en a'^ parce qu'il est méromorphe à l'infini. On en conclut facilement, en raisonnant toujours de la même manière, que k parcours de la boucle de V infini avant le chemin simple changent U en a^PU.

Quand N est divisible par m, on a m'= i , cl„^-= i, et /a racine u est monodr orne, partant olotrope, dans toute la partie illimitée du plan qui est géométriquement extérieure à Vanneau [oo].

167. Revenons aux généralités pour faire deux observations intéressantes, auxquelles conduit la considération simultanée de toutes les racines de l'équation (i).

Soient ^o> ^ des valeurs de x non critiques, puis

les racines de l'équation numérique

puis respectivement

celles de l'équation (i) qu'on obtient comme valeurs finales, après avoir parcouru un même chemin [^qX] considéré comme simple, en prenant les quantités (i5) pour valeurs initiales de m, et cherchons d'abord la nature de la permutation qu'opère dans la suite (i6) l'adjonction d'une boucle (a) en tête du chemin simple, les quantités (i5) restant toujours placées dans le même ordre de succession.

Appelons i [(^ — ^Y \ '^ développement rhizomorphe à même composante i (olotrope ou méromorphe) d'un groupe de v racines de l'équation (i) infiniment voisines de b=:A(o) (ou infinies) quand x tend vers û, puis

(17) b', b', ..., Mv)

les V valeurs