CHAPITRE IV. — PHASES CRinQUES DES FONCTIONS IMPLICITES
de l'expression ^[(tt' — ^)^J> * désignant toujours la racine principale directe v*^"** de l'unité, puis
(l8) il, M, ..., u
celles des quantités (i5) qui prises pour valeurs initiales conduisent u aux valeurs (17) respectivement après le parcours de la ligne [jTod'], puis enfin
les valeurs finales obtenues au bout du chemin simple, quand u part de œ^ avec les valeurs initiales (18).
Une révolution de x sur l'anneau [d] dans le sens direct change
généralement {x — ny en a(x — a)^; les v racines u qui parties de ^0 avec les valeurs initiales (18) arrivent en d' au bout de la ligne [^0^1 avec les valeurs (17) 7 reviennent donc après le parcours de Tanneau, avec les valeurs
elles repassent ainsi en x^ au bout de la ligne [tt'^o] avec les valeurs
et finissent, par suite, en X au bout du chemin simple [^0^] avec
les valeurs
U', U", ..., Utv), U',
se déduisant de la suite {iq) par une permutation circulaire.
Il en résulte, tout comme pour les racines de l'équation binôme (122), que, relativement à une valeur critique donnée de X, les quantités (16) se partagent en groupes ou systèmes circulaires, c^est-à-dire tels, que V adjonction de la boucle correspondante en tête du chemin simple ne change pas la composition de chaque système, mais opère dans ses éléments une simple permutation circulaire.
Le doublement, triplement, etc., de la boucle dans le même sens provoque deux, trois, etc. permutations circulaires dans chaque système. Son parcours en sens contraire produit la permutation circulaire opposée.
Les valeurs finales des racines qui sont monodromes autour de la valeur critique dont il s'agît peuvent être considérées comme formant des systèmes circulaires composés chacun d'un seul élément.
Il est clair que, relativement à deux valeurs critiques différentes, le partage des quantités (i6) en systèmes circulaires s'opère en général de deux manières entièrement différentes aussi.
168. Quand les équations (i), (3) jouissent dans tout le plan servant à la notation graphique de x^ des propriétés spécifiées au n® 159 pour une aire limitée S^^, le calcul par cheminement d'une racine quelconque de l'équation (i), de toutes par conséquent, ne rencontre jamais aucun obstacle el peut être poussé indéfiniment dans toutes les directions, soit par le développement de Taylor, soit quelquefois par ceux étudiés dans le paragraphe précédent. Gomme en outre, d'après les notions acquises dans le présent Chapitre, plusieurs racines d'abord numériquement distinctes ne peuvent devenir égales sans que leurs degrés de multiplicité s'ajoutent, sans qu'une variation ultérieure de x les sépare de nouveau en plusieurs autres dont la somme des degrés de multiplicité reprend la même valeur, la somme des degrés de multiplicité d'un groupe donné quelconque de racines conserve une valeur constante, tant qu'aucune d'elles ne devient numériquement égale à quelque autre étrangère à ce groupe.
En comptant, comme on le fait souvent, une racine m^P'* pour m racines simples, on peut dire que /e nombre des racines d'un groupe donné reste invariable, aussi longtemps du moins qu'aucune autre ne vient à s'y introduire.
Cette deuxième observation constitue ce qu'on pourrait nommer le Principe de la conservation du nombre des racines, renfermant celui qui a lieu plus strictement pour les équations entières; il offre une importance du même ordre, et n'existe comme lui que grâce à l'extension des opérations analytiques aux quantités imaginaires.
