CHAPITRE V. — LOGARITHME NÉPÉRIEN ET PONCTION EXPONENTIELLE

SOO. La relation (4) donne en parliculier

cp(K^)=[ç(a?)P,

d'où pour X = 1

On représente par la lettre e la constante 7(1), en posant

c = cp(i) = n 1 h. . .= 2,7182818

On a ainsi

pour toute valeur de x réelle et commensurable, formule qu facilite beaucoup la conception de pareilles valeurs de notre fonction.

Pour X non réelle commensurable, le signe e^ n'a point de sens ; mais rien n'empêche évidemment de lui en attribuer un, en posant pour toute valeur de x^ ceci conventionnellement quand il y a lieu,

C'est la notation que nous adopterons désormais conformément à l'usage. Elle a le double avantage de fournir les valeurs de notre fonction dans tous les cas où elle a un sens propre, et de rappeler aux yeux Tanalogie parfaite de sa propriété caractéristique (197) avec les règles du calcul des exposants. D'où le nom de fonction exponentielle, auquel on ajoute quelquefois le mot népérienne pour la distinguer d'autres fonctions analogues dont nous parlerons plus loin (209, inf.).

201. La discussion numérique de la fonction exponentielle se ramène immédiatement à celle du logarithme népérien, en vertu de cette observation que le théorème du n® 11 rend évidente.

Si le parcours par u d^un chemin quelconque [i, U] fait

décrire à

le chemin [o, X], on aura certainement

Il j a cependant quelques faits intéressants à établir directement.

I. Quand X est réelle et croit de — oo à H- oo, e* e5/ réelle et croit de o à +0C.

Le premier point résulte de ce que tous les coefficients de la série (i) sont réels. Comme ils sont en outre positifs, e^ est positive aussi pouf a: ^ o, et même pour x < o à cause de e~^ == — (197).

Enfin e^ dérivée première de e* (194) étant ainsi toujours positive, e^ est toujours croissante, et même à Tinfini à cause de e^> j:. Quand x décroît jusqu'à — oo, e^ tend vers zéro, parce que — x

est une quantité positive infinie et que Ton a e^= -3;^-

II. Quand x^, premier élément de x = x^ -h ioi? , est nul, on a

(g) modc-^= mode'**= I.

A cause de la réalité tant des coefficients de la série (i) que de x"j les quantités

sont conjuguées, et le carré de leur module commun se réduit à i,

à cause de

{moàe^^'Y = ei''e-i''= e« = i (197).