CHAPITRE V. — LOOARITHMB NÉPÉRIEN ET PONCTION EXPONENTIELLE

écrite d^une aulre manière. D^ailleurs la difTérentiation de la série (i) la rend évidente à posteriori.

Cette fonction ne peut donc s^ évanouir numériquement pour aucune valeur de x. Car alors la relation précédente entraînerait la nullité simultanée de ses dérivées de tous ordres, par suite (187*), la nullité identique de f (x). Or ceci ne peut avoir lieu, puisque les coefficients de la série (i) ne sont pas tous nuls.

197. A la propriété caractéristique du logarithme népérien (172) correspond par inversion celle de o(^) que nous allons énoncer, et qui est fondamentale.

Au bout de chemins quelconques issus de

a?' = a?" = . . . = ar^*"' = o, on a identiquement

pourvu que ces radicaux partent des valeurs initiales

Les trajets imposés à x\ x" ^ . . . font suivre aux quantités

des chemins au bout desquels on a la relation (i 3) du numéro cité

/(X'*^' . . . X<ér)«^''^) = K7(X')-f-. . .-h K(^^ /(X^^?) = K' x' + , , . ^ K^s^ x^ér\

parce que (19o) les formules (5) donnent inversement

Or, et cela par définition (194), la résolution de cette dernière par rapport à la quantité dont le logarithme figure dans son premier membre donne précisément celle que l'on veut établir (4) après substitution de ^(^'), ?(^")î • ■ ' ^ ^'' ^"j

198. Quand les nombres K', R", . . . sont tous entiers, Tidentité (4) ne renferme que des fonctions indéfiniment olotropes; par suite, elle subsiste indépendamment de toute condition M. - II. ,4

accessoire. Dans ce cas, la considération de la série (i) en fournit une démonstration bien facile.

La formule de Taylor, indéfiniment applicable à la fonction ^{x) (206*), donne pour toute valeur de x et de A, à cause de l'identité (3),

(6) (p(a7-4-A) = o(ar)9(A), d^où facilement

puis en prenant ^'= ^ = . . . = x^s) = x^

(7) ?(^^) = [?(a^)]*'- On a, d*autre part, à cause de (i), (6),

on en conclut

?(-^)=[?(^)]-S puis en vertu de (7)

Une combinaison évidente de loutes ces formules particulières conduit ensuite à la forme de l'identité générale (4) que nous avons en vue.