CHAPITRE Y. — LOGARITHME NÉPÉRIEN ET FONCTION EXPONENTIELLE

précisément celte parallèle quand u se meut sur la demi-droite en question (176) (183).

V. Quand x se meut uniformément de — oo à -4- oo sur une parallèle à l^axe O^X", menée à la distance x' de cet axe, ii'=:e^ tourne uniformément dans le sens direct sur la circonférence [0„, e*"] en passant en u = e^ au moment ou x passe en a^ y et en y faisant une révolution entière chaque fois que x se déplace de 2tc sur la parallèle considérée. Car x=l{u décrit précisément cette parallèle, quand u décrit de la manière indiquée la circonférence en question (179).

VI. Si m, n sont deux entiers, le premier positif , et si a.m désigne toujours la racine principale directe m'^'"* de l'unité, on a

d'oii, en particulier,

e*^' = — I , e * = dz i.

Ces formules sont des conséquences évidentes de celles inverses du n® 186; elles fournissent pour les racines de l'unité, des expressions que l'existence des Tables trigonométriques (250, inf) rend les plus convenables pour leur calcul numérique.

202. Comme la fonction exponentielle est indéfiniment olotrope, elle a pour phase singulière unique celle correspondant aux valeurs infinies de x.

En vertu de la relation (lo), combinée avec les conclusions des alinéas qui la précèdent dans le n° 201, elle est infinie quand le premier élément de x est infini positif, infiniment petite quand il est infini négatif, indéterminée dans tous les autres cas.

Un pareil mode de variation sépare absolument cette fonction de toutes celles à une seule variable que nous avions rencontrées dans les Chapitres précédents, chacune de ces dernières tendant vers une limite déterminée ou bien étant infinie pour des valeurs infinies quelconques de la variable. On dit qu'elle possède à Tinfini une singularité essentielle (259, inf).