L'équation numérique

est impossible ou possible, selon que X. est =o ou non. Dans le dernier cas, elle a pour seules racines toutes les déterminations de 1{X) (18S).

Nous savons (11) que cette équation n^a pas d^autres racines que ies valeurs acquises par la racine variable u de Téquation

définie par une condition initiale quelconque, en particulier par u = o pour X = 1, au bout de tous les chemins pouvant conduire jj de I à X. Nous savons d'autre part (193) que celte racine variable est précisément l{x).

Cela posé, si X = o, tous ces chemins conduiront le premier élément de l{x) à l'infini négatif (184); si au contraire X est non = o, ils donneront naturellement toutes les déterminations de /(X), savoir

en appelant U l'une d'elles choisie à volonté, et k un entier quelconque positif nul ou négatif (173) (183).

204. La périodicité est une propriété extrêmement curieuse et importante qui, sous des formes variées, appartient à une infinité de fonctions engendrées par l'inversion des intégrales abéliennes. Dans la suite, nous aurons à en parler longuement; mais, pour le moment, il faut nous borner à la définir sommairement et à constater qu'elle appartient déjà à l'exponentielle.

Soient /{x) une fonction d'une seule variable, et II une constante donnée non = o; on dit que /(x) admet U pour période si, quel que soit l'entier m (positif ou négatif), on a identiquement

f(x-{'mU)=/{x).

Les fonctions douées ainsi de quelque période sont dites périodiques.