IC __ I I I

elle est curieuse, mais sans utilité pratique, à cause de la lenteur avec laquelle converge la série.

219 bis. En étudiant l'équation différentielle (5) par la méthode directe que nous suivrons aux n°' 299 et suiv., in/., on prouve sans difficulté : i^ que ses intégrales sont toutes indéfiniment méromorphes et ne dégénèrent jamais en des constantes; 2" que les racines de l'équation numérique

tango? = U

sont, quelle que soit {] ^ ± ly les valeurs de Tintégrale déCnie

r^ du ^ I r" du I r" du

prises sur tous les chemins conduisant de o à U, qu^elles sont par suite de la forme X 4- mil, où X représente Tune d'elles et II la valeur de la même intégrale prise sur Tune ou Pautre, à volonté, des deux boucles enveloppant les valeurs singulières ± i respectivement; 3° que la même intégrale est finie quand U s'éloigne à l'infini sur un chemin ne faisant autour de ± i que des lacets en nombre limité {Cf. 296, i**, inf,). De tout quoi, et en raisonnant exactement comme au n° 302, VIII, inf.y on conclut l'inégalité n ^ o. C'est la seconde démonstration dont nous avons parlé au n** 180 in fine j car il est évident, par la relation précédente, que n est précisément la période de l'exponentielle, au diviseur 21 près.

220. La combinaison des relations (12), (i3) donne immédiatement

tangi ar 1= •

\i I tanga?

On affecte le signe spécial cot^ à la représentation de la valeur commune des deux membres de cette identité, et l'on a ainsi, d'après la formule (10),

(21) cota? = = t -— .

tanga? c*'-^ — i

Les propriétés de cette nouvelle fonction se déduisent si facilement de celles de tangx, que nous nous contenterons d^énoncer les principales.

L Elle satisfait à l'équation différentielle

^^ di=-'''-'^

autre cas particulier de l'équation (2), et à la condition initiale

p = 0, pour a: = -.