IX. Les zéros de tangx sont les quantités réelles
(i5) kiz,
zéros simples de i — e^'-^ numérateur du second membre de la formule (10). Tous sor\t donc simples aussi.
X. Pour des valeurs réelles de x^ tang^ est toujours réelle. C'est ce qui résulte du calcul du second élément de tangjr, exécuté au moyen de la formule (10), dans cette hypothèse qui rend mod^^'^= I (201, II), ou bien encore de Téquation différentielle génératrice (5) et de la condition initiale (6) où tout est réel (28 bis).
Ajoutons c^xx'alors tang^r est sans cesse croissante, car sa dérivée première est toujours positive en vertu de l'équation (5) (19).
218. La fonction inverse arc tangx est la racine u de l'équation
tan g u = X.
Elle s'exprime immédiatement par des logarithmes, à Taide de la formule (7) que la permutation de x, u et l'attribution à C de la valeur (8) changent en
(16) tt- - !!-,--L/(x-0-— . /(^-hO-
Les phases singulières de cette fonction correspondent aux
valeurs de x qui annulent l'une ou l'autre des quantités soumises au signe / (187), c'est-à-dire k x =^±i. Ses diverses déterminations sont
u-\ : /w.airt = w-H mr (185).
Tous les chemins conduisant de Xq à X, valeurs de x non = ±: t, sont réductibles à l'un d'entre eux précédé de boucles enveloppant une fois, les unes le point /, les autres le point — t. L'adjonction d'une boucle du premier genre, parcourue dans le sens direct ou rétrograde, augmente de dz it la valeur finale U de arc tang x, parce que la quantité x — i fait alors un tour direct ou rétrograde autour de sa propre origine (126), et que l{x — i) augmente de ±: iTzi (173). L'adjonction d'une autre boucle augmente U de ifiir, parce que le logarithme correspondant est précédé du signe — .
219. La série de Maclaurin est applicable au développement de arc tang^„ jusqu'à moàx = i, plus courte distance de l'origine aux valeurs singulières x= ± i (201*). De
— ; = ± i>, /( — 0= hm'.'iTzL l(i)=z- — h/n'.a?:* (186),
on tire (172), (171, II)
moyennant quoi la formule (i6) donne immédiatement
(19) u = arc tanga? = /«tc h ô" "^ "^
Les séries (17) et (18) étant convergentes l'une et l'autre pour toutes valeurs de x de module i, sauf -[- i qui fait diverger la prjemière et — i qui fait diverger la seconde (171, III), cette dernière (19) Test pareillement; à cause de sa continuité (126*) et
CHAPITnS VI. — FONCTIONS CIRCULAIRES. 231
de celle de arc lang^, elle représente encore celte fonction pour de pareilles valeurs de x.
L'inversion de Tëquation (5) donnant
T ^î— = = I — JT» -h xî — . . .
dx I -h x^
pour modj'<i, l'intégration de celte dernière ferait retrouver immédiatement la formule précédente.
Quand x est réelle, toutes les déterminations de arc tangj: le sont évidemment aussi, de plus croissantes puisque leur dérivée première commune est toujours positive en vertu de l'équation (20). D'autre part, et à cause de tango ^o, une seule détermination est susceptible de s'annuler, ce qui a lieu pour elle en JT = 0 exclusivement. On en conclut facilement que pour chaque valeur positive de x^ cette détermination est la plus petite de celles qui sont positives. Quand x est << i , on obtient son développement en prenant m = o dans la relation (19)9 ce qui donne
X x^ ar*
arc tangr = 5- "+- -t
Si l'on fait ici j:= i, et si l'on remarque que, d'après la relalion (10), les valeurs de x rendant tango: = 1 sont - + wtc, parmi
les positives desquelles - est la plus petite, on arrive à la formule
