III. On a les identités

cot(-^)=— cotJT, cot ^^ -+- a:^ = — ^^ (217, VI),

et aussi

(aa) cot( x) = = langa?.

IV. La valeur de cot^r est réelle pour toutes les valeurs réelles de X (loc. cit., X), (28 bis).

Etc.

221. Les deux fonctions que nous venons d^étudier ont avec sinjt; et cos^r des relations très simples sur lesquelles on pourrait fonder pour elles une théorie toute différente, mais moins propre selon nous à mettre bien en évidence leur véritable caractère analytique (248, in/.).

Réduction des intégrales circulaires, elliptiques et ultra-elliptiques. Expressions générales et inversion des premières.

222. Après les intégrales de nature abélienne qui nous ont donné, directement ou par inversion, le logarithme et l'exponentielle (Chap. V), puis la tangente, la cotangente et leurs fonctions inverses (215e^ jaeV.), les plus simples sont celles dont l'irrationnelle caractéristique y dépend d'une équation entière où elle entre

au deuxième degré. Sans restreindre la généralité de Vintégrale

(i) f¥{x,y)dx,

on peut toujours supposer alors que cette équation se réduit à

OÙ ^{x) est un polynôme entier en x^ dont le degré effectif k est >- o, et qui est dépourvu de tout zéro multiple*

Car Féquation en question est nécessairement de la forme

(3) A7«-f-2Bj^-+-G=o,

A, B, C désignant des polynômes entiers quelconques en x^ et en appelant ^{x) le produit de tous les facteurs linéaires distincts de B^ — AG qui figurent dans ce polynôme avec des exposants

impairs, on a

B» — AG = K«(p(ar),

où K est un nouveau polynôme entier en x. Cela posé, la résolution de l'équation (3) donne

y = — x'^ii v?(^)»

et <f{x) ne peut se réduire à une constante, puisque alors l'équation (3) serait réductible contrairement à l'hypothèse du n® 169. Or il est évident que toute fonction composée rationnelle de x

et de y est aussi composée rationnellement de x et de ^^{x)j

c'est-à-dire de x et de la racine d'une équation de la forme (a).

Dans cette hypothèse, où nous nous placerons désormais, on a

deux théorèmes généraux que nous commencerons par établir.

223. Une simple substitution rationnelle du premier degré (30*) permet, soit d'augmenter d'une unité le degré k du polynôme ^{x) si ce nombre est impair, soit de le diminuer d^une unité s'il est pair.

Nous écrirons

<p(a?) = («1 H- 6, ar) . . . (a^r -4- bfix)^