CHAPITRE VI. — FONCTIONS CIRCULAIRES

les coefficients 6|, , . ., bft et les déterminants (aibj — cijbi) étant tous différents de zéro, et, appelant t une nouvelle variable d^intégration, nous exécuterons la substitution

dont les coeffîcients provisoirement indéterminés sont assujettis à la seule condition de donner

a 8 — Py ?^ o, et qui conduit alors à

dx=r — - — -^ dt,

(Y-hoO*

Si k = 2n — 1 , il vient ainsi

[(«î«-i T -i- ^tn-1 a) + («s/i-i ô -+- 6,„i P) f] [y h- 5/] i ,

et l'expression y^it) entre accolades est un polynôme entier sans facteurs multiples, en outre de degré effectif 2n, si les coefficients de la substitution (4) ont été choisis de manière à ne rendre ^o, ni 8, ni aucun des binômes a/S + 6/^. On aura donc ainsi

où F| est une nouvelle composante rationnelle. Si A:= 2/2, il vient

et l'expression tj;(/) entre accolades est encore un polynôme entier en t sans facteur multiple mais de degré effectif 2 /i — i seulement, si Ton prend maintenant pour S, 0 des valeurs annulant l'un des binômes a,- 8 4- 6iP.

Or, on trouve comme ci-dessus,

F[x, /,T^] d.=- ;Li--ji F [g^;, , *^, 1 dt

où la composante F2 est toujours rationnelle.

224. Quelle que soit la composante rationnelle F, Vintegrale (i) se ramène à la somme :

i"* Uune expression rationnelle et logarithmique

intégrale indéfinie d'une certaine différentielle rationnelle en x\

2° Du produit

d'une certaine fonction rationnelle de x, \){x)^par le radicaly ; 3® D'une fonction linéaire et homogène des k — i intégrales

c ette troisième partie n'existant pas toutefois si l'on a A' = i ; 4® D'une fonction linéaire et homogène d'intégrales en nombre indéterminé, de la forme

dx

OÙ a n'est pas un zéro de ^{x).

I. En mettant Y{x^y) sous forme d'un quotient de deux polynômes entiers en x^ y^ groupant dans chaque terme de cette fraction les monômes de degrés pairs en y^ ainsi que ceux de degrés impairs, et mettant ce radical en facteur dans les derniers groupes, il vient

M, M', N, N' désignant des polynômes entiers en x et en j^^^ ^j^ ^