Toute période d^une /onction méromorphe bipério

digue est composée d'un couple donné quelconque de périodes élémentaires,

Soient/(.r) la fonction considérée, D = O'-f- iW, Û = Û'-h /Û' un de ses couples de périodes élémentaires, et r = r'-hiT* une période quelconque de la même fonction. Appelons /><, /?2, ... une suite indéfinie d^entiers inégaux, puis pi, pa, • . . les quantités qui, dans une même maille [IIÛ], sont congrues kp^X^ p^^t ••respectivement (308).

Il ne peut arriver que pi, ps, ... soient toutes inégales; car autrement, et à cause de

/(^) =/(^ -*-/>^') = /(^ + 'wn -4- nÛ -+- p) =/(a7 -f- p),

où /w, n sont des entiers convenables, l'équation y(:r) — y(^o) = o, x^ n'étant pas un infini àaf^x)^ aurait pour racines les quantités distinctes Xq + p qui sont en nombre illimité et tombent toutes dans l'aire limitée que constitue la maille de sommets ^o? ^o + D? ^o + û, Xq-\-VL-\-Ù] or c'est impossible, puisque la fonction f{x) — /(^o) est méromorphe dans cette aire, sans dégénérer en une constante.

Il existe donc deux indices i^ j donnant p/:= py, c'est-à-dire

PiX — /w/II — n/û = pjX — mjU — /lyû,

bm * * ^ #

len

— {mi— mj)U —{ni — nj)Q -h(/?/ — />>)!' = o. En d'autres termes, l'équation indéterminée

Uni -h Un -^ Yp = o,

résolue par rapport à /n, /i, p, admet quelque système de solutions réelles et entières, où la valeur de p n'est pas nulle, ni par suite celles de /n, /t à la fois, à cause de T ^ o. Soient

ces solutions entières, débarrassées de tout diviseur commun >> i. En vertu de la théorie générale des équations linéaires à coefficients entiers (*), l'équation de ce genre en )., u, v,

(i8) cjX -+- tu[x -f- uv = o,

(*) Voir mon Mémoire intitulé Solution du problème général de l'Analyse indéterminée du premier degré {Annales se. de V École Normale sup., mars i883).