CHAPITRE IX. — FONCTIONS BIPBRIODIQUBS EN GÉNÉRAL

314. Un couple de périodes esl dit élémentaire, s'il n'est composé d'aucun autre de moment numériquement moindre.

Toute fonction bipériodique f{x) possède quelque couple de périodes élémentaires.

S'il n'en était pas ainsi, on aurait, à partir du couple donné (n, û), de moment OPL, une suite illimitée d'autres couples, de moments OPl', 3[C , . . ., Olt^'^ . . ., composés chacun du suivant à l'aide de systèmes de multiplicateurs entiers dont les déterminants V, V", . . . , V^'^, . . . seraient tous > i en valeurs absolues.

Les relations (4)

OÏL = r OlL', OÎL' = V Oïl', donneraient

et les périodes II, Q résulteraient ainsi de la composition des périodes II^'\ û^'^ par un système de multiplicateurs dont le déterminant 6/= VV . . . V^'^ serait numériquement aussi grand qu'on le voudrait.

En appelant maintenant Xq quelque valeur de x rendanty(;r) olotrope, l'équation f{x) — /(^Xq) = o admet pour racines au moins tous les nœuds du réseau construit sur 11^'^ Ù^'\ à partir du premier nœud Xq. Et, comme ± ©/ de ces nœuds tombent dans une même maille [M^] d'un réseau construit sur II, Q (312), cette équation aurait dans l'aire limitée [«fll] des racines distinctes en nombre au moins égal à ± 0/, c'est-à-dire illimité. Or, c'est impossible (31), puisque /(a:) y est méromorphe et ne se réduit pas à une constante.

Les périodes des fonctions E(^), E. (j;), considérées aux n°' 304, 30o, sont évidemment élémentaires.

315. En composant un couple de périodes élémentaires, avec des multiplicateurs de déterminant ±:i, on obtient une infinité d'autres couples qui sont également élémentaires.

Un réseau, une maille sont élémentaires, quand ils sont construits sur des périodes élémentaires.