CHAPITRE IX. — PONCTIONS BIPÊRI0DIQUE8 EN GÉNÉRAL

des couples de valeurs (a, P), (y, 8), donne, à cause des dernières

égaillés écrites,

puis

. aG-+- PD =o,

( YG-+-8D =o,

parce que II, C2 sont des périodes de/(^), puis finalement C = D = o, à cause de ao — ?Y t^ ^'

L'identité (22) montre ainsi que m, co sont des périodes de/(ir); elles sont donc élémentaires pour cette fonction , comme poury'(^), puisque les périodes élémentaires II, Q en sont composées. Même raisonnement pour/'(x) e\.f'{x),f"{x) Qif"{x), etc.

Propriétés générales d'une fonotion bipériodique indéfiniment

méromorphe*

320. Si f{x) est une fonction bipériodique indéfiniment méromorphe, la résolution, par rapport à x, de l'équation

fournit, dans chacune des mailles d'un même réseau, des racines numériquement distinctes, dont la somme des degrés de multiplicité est au moins z= i,et conserve, quelle que soit u, une certaine valeur constante.

En outre, la somme dont il s'agit a des valeurs égales pour les équations (i) et

I. Tout d'abord, et pour une même valeur particulière Uq attribuée à u dans Téquation (i), il est évident :

1° Que ces sommes sont limitées; car, s'il en était autrement,

f{x) — Uo, ou y 9 se réduiraient à des constantes (31 ), et par

suite aussi /(a:), contrairement à l'hypothèse, puisque cette fonction est indéfiniment méromorphe, et que chaque maille constitue une aire limitée ;

•2° Que la valeur de chacune est la même pour toutes les

mailles^ parce <\mg f{x) a pour périodes les deux quantités sur lesquelles le réseau a été construit (2o2), (309).

II. Nous observerons ensuite que toute fonction implicite x de 11^ racine variable de r équation (i) s' il en existe, peut être calculée indéfiniment par cheminement, en faisant des pas d^ amplitude au moins égale à quelque quantité positi\re invariable 3, et cela à Vaide de développements soit olotropes, soit rhizomorphes (133), mais alors dépourvus de termes à exposants négatifs, qu'en conséquence, tout cheminement limité laisse cette racine essentiellement finie.

Soient

les racines de Téquation (2), infinis de f(x)^ contenues dans une maille donnôe du réseau, lesquelles sont en nombre limité (I, i°)el

des aires délimitées autour de ces points avec des dimensions assez faibles pour donner mod/(^) > R ^o, chaque fois que x tombe dans Fune ou dans Tautre. Soit encore ( Jtt) la partie de la maille considérée, que laisse l'ablation des aires (3).

Dans l'aire limitée (JH), f{^) est olotrope, par suite sa valeur reste dans une aire également limitée ; de plus l'équation f'{x) = o n'y possède que des racines en nombre limité.

Aussi longtemps donc que la marche de u ne fait pas sortir x de l'aire ('^U)» l'équation (i) remplit, soit les conditions sous lesquelles subsiste le théorème général du n** 307*, soit au moins celles assurant la validité des conclusions formulées aux n^* 141 et suiv. ; les développements successifs (olotropes ou rhizomorphes) de X ne contiennent aucune puissance à exposant négatif des accroissements de u, et il est visible qu'aux rayons de convergence de tous ces développements, on peut assigner une même limite inférieure positive 8'.

Dans les aires (3), y — : jouit des mêmes propriétés que f{x)

dans {Sli)\ chaque racine x de l'équation (i) écrite