CHAPITRE X. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS BIPÉRIODIQUES

Le dénominateur de la fraction figurant dans Pexpression de ûk a pour limite le produit (non==o) de la série factorielle (i — gr)(i — gr2) . . . ^ qui est convergente comme toutes celles dont nous avons parlé. Quant au numérateur, il a pour limite i, parce qu'il est précisément le produit des n — k facteurs suivant le {n -h A:)'^"* dans la même série factorielle (369). On a donc

(70 ) ai: = IJm ûjt = f-.

IV^ Le développement du produit des trois derniers facteurs de l'expression (67) étant évidemment égal à celui de

f(—y*) __ X' /,u/T,vtA-i

on trouve bien la relation (64) complétée par la formule (65), en faisant pour a^ et y les substitutions (70), (66), et en écrivant /72 + I à la place de A*.

374. Les fonctions unipériodiques ^^S« {x)y ^^^0{x) ne sont pas polarisées (âBl).

Car si la première Tétait, sa dérivée — ^^'S2(^) le serait aussi (270). Or, c'est impossible, car celle-ci admet l'autre période û (345), et, dans toute bande construite sur II, parallèlement à Û, qui contient une infinité de mailles élémentaires, l'équation — ^'^^^.;^[x)= Uq possède, quelle que soit ao, des racines en nombre illimité (265), (320, III).

Si c'était la seconde, la fonction Z^!},""] ='^^^{^) (352, I)

serait aussi polarisée (270)^ or nous venons de constater l'impossibilité de ce fait.

Expressions générales des intégrales elliptiques.

375. Au moyen des fonctions que nous venons d'étudier (et des fonctions algébriques, logarithmiques, etc.), on peut exprimer toutes les intégrales elliptiques, et en parliculîer les plus simples

d'entre elles, auxquelles toutes peuvent être réduites (298). Mais auparavant, il convient de résoudre le problème suivant dont on remarquera l'analogie avec celui du n^ 295, et qui se confond en quelque sorte avec celui du calcul d'une intégrale elliptique quelconque (377, inf,),

E7t>4.ésignant par f{x) une fonction bipériodique indéfini-ment méro^HOi^he, calculer V intégrale indéfinie

^"-^^ ff{x)dx.

Nous pouvons procéder exactement comme si f{x) était une simple fraction rationnelle. Soient effectivement (II, û), un couple de périodes de f{x) (qu'il y aurait avantage à prendre élémentaires s'il s'agissait de calculs numériques) et Sf {x)^ "E^^x)^ . . . , 0{x)y les fonctions connexes des paragraphes précédents, construites avec n, Û pour fausses ou vraies périodes.

D'après ce qu'on a vu au n** 347, /(a?) s'exptime linéairement au moyen des fonctions S par une formule pouva>3it être écrite

f{x) = K -H I.kij'Eiix - oLj),

ai, ..., ay, ... étant les infinis numériquement distincts que f{x) possède dans une maille donnée de son réseau, et A<y le numérateur de la fraction simple qui a (j? — ay)' pour dénominateur dans la décomposition connue àe f[x).

L'intégration indéfinie de cette formule donne, en appelant G la constante arbitraire,

ff{x)dx = G-hKj7H-2A./,y/Sj(:r '-QLj)dx,

Or on a (aux constantes arbitraires près) : 1** Quand i est > i (343, I),

f'Ei{x—7.j)dx =

3,,(a7 — ay);

— t-hi

2« Quand f = i (352,1),

ce qui achève la solution du problème.

L'intégrale se compose donc de quatre parties, savoir : i ° la fonction linéaire G -i- Kar ; 2° une partie méromorphe et bipériodique,