En supposant p" > o comme au n^ 362, on a pour ^0{x
CHAPITRB X. — DBVELOPPSXBNT DBS FONCTIONS BIPBRI0DIQUB8. 413
le développement doublement infini
(°>0(a7) = HL... + (-i)— «y » e '" +...-c"n%-e"'
^ttt converge pour toute valeur de x^ et que l'accouplement des exponentielles transforme en la série simplement infinie
sin-jar— <7 * sin3 Tj a?-4-y » sin5 ^ a? — ... j, formules où Von doit prendre
27tl
Si
l'on
pose
27ti 1(1 — ^,)(i — g*). ..]'
— -JT
la subslilulion des exponentielles aux sinus permet de mettre la formule (54) sous la forme
parce que l'égalité mody<;i entraîne la convergence de la série modqr + mod 5^^ + . . . , puis (370) celle des trois séries factorielles entre crochets, ceci pour toute valeur de^^ o.
Comme les deux dernières sont développables en deux séries entières, l'une en j^, l'autre en^~' (371)? le produit ^^^^0{x) est développable en une série de la forme (63) par rapport ky (372, VI). Nous allons en calculer les coefficients.
II. Le développement de l'expression où n est un entier positif, où z représente une variable indépen-
dan te, est une somme de monômes en js à exposants positifs et négatifs compris entre — /i et + n inclusivement, et eu posant
(69) (n{z)=z O-nZ-'^'h. ..-4-0^3*'-+-...-+- Û«5«,
les coefficients a sont des polynômes entiers en q s'obtenant comme il suit.
La relation de définition donne immédiatement
fnCgz) = r ^ (niz) = (n{z),
c'est-à-dire
{q^ ^ Z)in{qz)^{\->r q^ Z)in{z),
d'où en remplaçant în par son développement (69), et égalant les coefficients de -3^*, (S'<'*)7
puis la relation générale entre deux coefficients consécutifs
I I — qn-<r\-^g *^ qg x^qH-g *^>
Si y maintenant, on fait successivement dans cette récurrence ^ = A", A" -I- I , . . . , (/i — i), si l'on multiplie membre à membre, et si l'on observe que û,i est nécessairement égal à gr'+2+ ■•+f"~*', produit des coefficients de z dans les n derniers facteurs de l'expression (68), on trouve pour l'expression générale de Oai
m. Quand n augmente indéfiniment, f/ï(-3) a pour limite
parce que les séries factorielles entre crochets sont convergentes pour la même cause que celles de la relation (67); et il est évident (370) que le polj^nôme û>t se change en une série entière en q^ dont la somme est précisément a*, coefficient de s* dans le développement de f(^z) en série doublement infinie procédant suivant les puissances de s à exposants entiers positifs et négatifs.
