CHAPITRB XI. — FONCTIONS BIPSRIODIQUKS DU 8BC0ND ORDRE

efiectivemeDt de Tétre ou non, selon que le degré de multiplicité de la valeur correspondante de x est impair ou pair {loc. cit.).

Soient u — k un facteur linéaire de x{u)j et Ç une racine de E{x) = k. Si k n'est pas l'une des valeurs cardinales a, &, c, rf, 5 est zéro simple de w — k (304, IV), de x{u) par suite qui n'a par hypothèse que des facteurs linéaires distincts, et notre radical cesse d'être olotrope en x = ^. Si au contraire A' est Tune de des quatre valeurs, ^ est zéro double de /(^)) et notre radical est olotrope en :r = Ç.

Soit i un infini de E(;r); comme il est simple (304, V), son degré de multiplicité pour ^(e/) est le degré même de ce polynôme. Notre radical reste donc méromorphe en â? ::^ i ou non, suivant que ce degré est pair ou impair.

De la combinaison de ces deux observations, résulte bien l'exactitude du point que nous avions en vue.

III. Pour que le même radical \J'fJ^u) admette en outre les périodes II, û de E(a;), il faut et il suffît que x{u) soit une constante, ou bien le produit d^une constante par les quatre binômes (5).

La condition énoncée est évidemment suffisante; car si elle est remplie, notre radical se réduit à une constante, ou bien, sauf un multiplicateur constant (302), à E'(j:;) qui a bien II, û pour périodes (319).

Pour prouver sa nécessité, supposons que y^{u) contienne seulement deux des facteurs linéaires (5), que l'on ait par exemple

résolvons par rapport à x l'équation

E(ar) — u =0,

en prenant pour valeurs initiales un couple quelconque (xq, Uo)^ de solutions numériques de cette équation, Xq n'annulant pas toutefois E'(x)= a', demi-dérivée partielle par rapport à u'= ~r-àii

premier membre de l'équation difTérentiellede la fonction 2/ = E(^); faisons cheminer u de Uq à Uq sur deux boucles consécutives [6],

424 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS d'UNE SEULE VARIABLE.

[a], enveloppant respectivement les points 6, a^ une seule fois chacun, mais aucun des deux autres c, d^ et nommons x'^ la valeur finale de x.

Inversement ii = E(^) suit de Wo en Uq les deux boucles [6], [a\y quand on fait décrire à ^, considérée maintenant comme variable indépendante, le chemin que cette quantité traitée comme fonction implicite de u avait parcouru. Or

et ce radical revient évidemment à sa valeur initiale; on a donc à la fois E(:c;) = E(^o), E'(x;)==E'(^o), d'où (333, III)

Mais comme ce cheminement de x ramène y/a — rf, y/// — b à leurs valeurs initiales multipliées respectivement par -f- i et — i,

notre radical ^y{u) revient à sa valeur initiale multipliée par — 1 5 il n'admet donc pas les périodes O, û.

IV. Quand u est une fonction de second ordre à infinis doubles, on obtient de la même manière les conditions voulues pour que le

radical yJxi^O (supposé non constant) soit méromorphe, puis pour qu'il ait les périodes de u. En appelant/), q, r les valeurs cardinales (finies) de w, la première condition est que le polynôme y^{it) ^c contienne que tels ou tels des facteurs linéaires

u — /), u — y, u — r; la seconde est quHl les contienne tous trois.

V. En vertu de l'hypothèse combinée avec le théorème du n^ 331, U est liée à u par une équation irréductible de la forme

LU» — 2MU-hP=o,

où les degrés effectifs de L, M, P, polynômes entiers en w, ne surpassent pas m, l'un au moins atteignant ce nombre. La' résolution de cette équation donne