On peut mettre la formule (4) sous Informe

(7) r(ar)= j^ ,

se réduisant à

si Von a par hasard

A cause de l'équation différentielle de la fonction du second ordre/ (379), et à un facteur constant près, le radical de l'expression (4) se réduit précisément à/'(j:), d'où la formule (7).

La différentiation de l'identité fondamentale

(10) f(S^x)=f{x) donne

(11) fXS-x) = -f(x).

Si donc la relation (9) a lieu, le changement de ^ en S — x dans (7) n'y change que le signe du premier membre et celui du dernier terme du numérateur du second membre. On en conclut M = o, puis la formule (8).

426 DEUXIÈMI PARTIE. — PONCTIONS D'UNB 8EDLB VARIABLE.

383. Le théorème précédent trouve une application intéressante dans la démonstration de celui-ci.

En appelant x^y deux variables indépendantes, on a

oùAy B, C, D, H sont des polynômes entiers €n/{x)y/(y), sans diviseur commun à tous, jouissant en outre des propriétés suivantes : A., D, H sont symétriques par rapport à /(x)^ /(y)t mais la permutation de ces dernières /onctions change h en C, et inversement; les paires de degrés maximums en J{^)',/{y)i des 5 polynômes A, B, C, D, H sont respectivement ( 2, 2), (o, 2), (2,0), (0,0), (2,2).

I. Comme f(x -{-y) est, pour toute valeur de y, une fonction de Xf bipériodique et du second ordre, admettant les périodes élémentaires II, û de /(^), elle s'exprime au moyen de cette dernière par la formule (7), N étant indépendant àe/(x), L, M étant des polynômes entiers eny(x), de degré 2 au plus. On trouve ainsi

OÙ maintenant Lo, • . • , Mo, . . . , No sont tous indépendants de x. En y changeant j? en S — Xy puis en ayant égard aux identités (10), (i i)> il vient une autre relation qui, retranchée membre à membre de la précédente, conduit à celle-ci

dont le second membre est, pour toute valeur de x, une fonction bipériodique de y, aux périodes II, û. En attribuant maintenant à X trois valeurs particulières x^, X2, ^3, telles que/(X|),/(jr2), f{xz) soient deux à deux inégales, on déduira de cette relation

trois équations linéaires simultanées, d'où les rapports fT' fr^ ^

pourront être tirés, parce que leurs coefficients y ont un déterminant p^o (411*, II). Et les expressions de ces rapports sont ainsi