CHAPITRE XI. — FONCTIONS BIPERIODIOUES DU SECOND ORDRE

Quand le même contour enveloppe 4 (et partant — ij), le chemin [w'w"] peut être remplacé par un autre composé de [w'U'], segment du rayon vecteur Ouu' conduisant à une quantité U' de module supérieur à modi|, de [U'U"] demi-circonférence ayant pour diamètre le segment rectiligne tracé de U' à U"^ = — U', et enfin du segment [U''w"]. La marche de u sur ce nouveau chemin fait décrire à u^ le segment rectiligne [m'^U'*] dont le prolongement seul contient le point w'==o, puis la circonférence entière [U'* U''*] de rayon ]> mod()^, puis enfin le segment [U'=^ u!^\

Il en résulte que le radical

revient à sa valeur initiale, parce que, pendant le mouvement

de u^ sur la circonférence [U'^U"*], -^ conserve un module < 1.

Le radical considéré A{u)=- uSi^{u) passe donc à une valeur finale opposée à sa valeur initiale, parce que u passe de u\k u" •=■ — u' . 2° SUl en est autrement, la substitution

M = tf -h u.

donne au radical (22) la forme y/'u- — fl*-* considérée ci-dessus (i**), où Ij = ih — ^ — ^o, et les mêmes conclusions subsistent.

IV. Nous plaçant enfin dans le cas spécifié par l'égalité (i5), nous tracerons le contour fermé [ a' w"w'] de manière qu'il contienne à son intérieur a, partant b aussi, mais non le point 0, ni par suite

le point d à cause de = = 0, et nous ferons décrire

à M le demi-contour [«'w"]. En vertu du lemme précédent (III), le radical (22) changera alors de signe, mais non le radical

et ^^[u)y égal au produit de y'G par ces deux radicaux, changera de signe.

On en conclut que l'intégrale (i 3) du n®302, prise sur [«'^/w'], c'est-à-dire II, est double du résultat obtenu en la prenant sur

[w'a"]i seulement. On a eflectivement

Jf* jiu r du, C ^^^^

et si, dans cette dernière intégrale partielle, on pose « = 20 — t?, d'où y (m) =: <p(r), du^= — dv^ le nouveau chemin d'intégration coïncidera avec [m'w"], et, d'après le lemme III, les valeurs du nouveau radical devront être prises opposées à celles correspondantes de Tancien; or, ces diverses modifications se compensent évidemment, de manière à rendre cette seconde intégrale égale à l'autre intégrale partielle.

Celle-ci étant ainsi égale à — > on voit que réciproquement

m[= E(^)] passe de u' à «/"(par le chemin [ a' «/]), quand x passe (par un chemin convenable) de x\ racine quelconque de E(x) = m',

à x^ -\ — j que, par suite (III), le radical (22) change de signe. En

d'autres termes, on a

(24) Sf^(x-\-^\ = — ^{x),

D'ailleurs, et comme dans l'alinéa II, on aura ici encore la relation (20) (renfermée maintenant dans l'identité précédente), et aussi la relation (21).

Les quantités —y û sont ainsi des périodes de ^{^xY\ de plus,

elles sont élémentaires, parce que cette fonction ayant dans la maille construite sur II, û les deux infinis deE(jr), mais chacun double, y est du quatrième ordre, et qu'ainsi sa maille élémentaire ne peut être moins de la moitié de celle-ci. Relativement aux périodes élémentaires IIi, ûf de X(x), on a donc pour la même raison que ci-dessus (II)

rr n ^

et les relations (24), (21) montrent que /?, q doivent être de même parité ainsi que r, s. Dans ces conditions, on donnera au