SUITE DES QUATRE PRÉCÉDENTS. •— FONCTIONS ELLIPTIQUES CANONIQUES

Propriétés spéciales de la fonction X(2r) ou sn^:.

394. La forme d'une relation entière, cherchée entre des fonctions bipériodiques dont les périodes sont composées les unes des autres, se découvre en général à priori par des procédés du genre de ceux indiqués dans le dernier paragraphe du Chap. IX. Il reste ensuite à exécuter le calcul effectif des coefficients de la relation, en appliquant d'une manière ou d'une autre la méthode des coefficients indéterminés. Pour les fonctions du second ordre, les identités que nous avons nommées les transformations primaires (390) sont habituellement d'un très grand secours, parce qu'elles sont très simples, et qu'elles contiennent au premier degré seulement chacune des fonctions y entrant.

Parmi les fonctions du second ordre qui ont des périodes élémentaires données, et au moyen desquelles s'expriment algébriquement toutes les fonctions bipériodiques ayant avec elles quelque couple de périodes communes, il y a donc avantage à choisir comme fondamentales celles dont les transformations primaires sont les plus simples. Ces fonctions d'un maniement relativement plus facile, ceci pour d'autres causes encore, sont celles auxquelles les géomètres ont donné plus spécialement le nom de fonctions elliptiques.

395. Soit f{x) une fonction du second ordre, aux périodes élémentaires El, û appartenant respectivement aux associations {ab), {ac) de ses quatre valeurs cardinales