CHAPITRE XII. — FONCTIONS ELLIPTIQUES CANONIQUES

Si sa seconde transformation primaire a la forme de simplicité maximum

la première prend simultanément la forme simple

Et, pour quHl en soit ainsi^ il faut et il suffit que Von ait

ce qui entraine pour f (/), polynôme entier en f figurant dans l'équation différentielle de f{oc)^ la propriété d'être bicarré, et pour cette fonction, par suite, celle d'être du genre E(a;).

Pour que ]a seconde transformation primaire ait la forme (a), il est nécessaire et suffisant que les équations (i4) du n° 392 donnent aQ=:YQ = o, pû^z^o, c'est-à-dire que les égalités (4) aient lieu. Si elles existent, aucune des quantités (i) ne peut être nulle, sans quoi une autre le serait aussi, et <p(/) serait divisible par le carré /^; elles donnent ab = crf, en outre a-\- bjéo, sans quoi on aurait b = c, puis enfin c -f- rf^z^ o pour la même raison. Les

équations (12), (i3) donnent donc Pjj = o, -^ = — A', en posant

Yn

moyennant quoi la première transformation primaire prend bien la forme (3).

Réciproquement, si le polynôme f (/) est bicarré, un accouplement convenable de ses zéros donnera les égalités (4), d'où les formes simples (2), (3) pour les transformations primaires.

396. Les zéros et les infinis de la fonctiony(^) douée de pareilles transformations ont une disposition spéciale qu'il faut noter. Si ^0 est un zéro, la transformation (2), qui donne

montre que ^o H — en est un autre, et tous deux tombent évidem-

ment à l'intérieur d'une même maille élémentaire. Comme /"(j:) est du second ordre^ ces deux zéros sont simples, et il n'en existe pas d'autres que les quantités congrues. La transformation (3), écrite

•^("-^°)=vb)

fait voir que ^o -i — ^st un infini (simple), puisque ^o ^^^ ^^ zéro (simple); l'autre transformation (2) montre ensuite que ÇoH i — en est un second. Ces deux infinis tombent encore

dans une même maille élémentaire, et ils sont les seuls incongrus que /(a:) puisse posséder.

Réciproquement, les transformations primaires de f{x) relatives à Û, n, ont les formes (2), (3), si ses zéros et infinis sont distribués de cette manière. Effectivement, la formule (9) du n*^390, qui s'écrit

donne pour x = J^o» P^is = Ço H — '

Yû = «û = o, et, en divisant par ^q, qui n'est pas nul à cause de

on retrouve bien la forme (2).

La transformation primaire relative à II donne de même, pour x = Î^Oî

et aji, Yn ne sont nuls ni l'un ni l'autre, à cause de la même condition (6). On retombe donc sur la forme (3), en divisant cette

transformation par yu, puis appelant k la constante qui est