AVBRTI6SEMENT DE LA DEUXIÈME PARTIE. VII

y a de direct el de coulanl dans son application à la résolution (théorique) des équations numériques.

Dans le Chapitre IV, j*ai reproduit en l'améliorant, la méthode suivie dans mon Nouveau Précis pour exposer et étendre aux racines d'une équation olotrope quelconque la découverte capitale de Puiseux sur les irrationnelles algébriques. Sous le nom de Principe de la conservation du nombre des racines, j'ai mis en saillie une observation générale qui, plus loin, donnera une grande évidence à certaines propriétés fondamentales des fonctions périodiques, et que, dans le Chapitre I tacitement, j'avais déjà utilisée partiellement pour la résolution d'une équation entière. Ce principe est un de ceux qui n'existent pas en dehors de la conception des quantités imaginaires, de ceux aussi qui, si je ne me trompe et quoique d'une manière un peu latente, dominent toute l'Analyse moderne. Les deux premiers paragraphes de ce Chapitre sont plus longs que je n'aurais voulu; mais je n'aurais su les abréger sans me départir de la rigueur dont je me suis fait une loi.

Le logarithme népérien étant la première transcendante à dérivée algébrique, j'ai tenu à donner à sa théorie des allures que l'on pût retrouver, quoique sous des complications, quand on passe aux fonctions circulaires, elliptiques, etc. ; en particulier, j'ai présenté la fonction exponentielle comme le simple résultat de l'inversion analytique du logarithme. Tout en fournissant une préparation à des études moins aisées, il s*est trouvé, selon moi tout au moins, que cette marche est facile en elle-même, et encore par le retour de considérations déjà utilisées pour la fonction radicale.

Ayant mis fin à toute intervention de la Géométrie, j'ai pu sans inconvénients renverser l'ordre habituel des choses et placer l'étude de la tangente et de la cotangente, que leurs propriétés analytiques rapprochent beaucoup de l'exponentielle, avant celle du sinus et du cosinus ayant une parenté plus étroite avec les fonctions elliptiques. Par analogie avec ce qui se passe pour celles-ci, j'ai présenté ces dernières fonctions circulaires comme les plus simples de celles que fournit l'inversion des intégrales où la différenlielle est composée rationnellement avec la variable d'intégration et la racine carrée d'un trinôme du deuxième degré. De cette manière, et tout en restant placé au point de vue préféré dans le calcul pratique de ces intégrales, on aperçoit nettement la

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nature analytique du sinus et du cosinus. Mais, dans l'exposition de leurs propriétés, je me suis bien gardé d'abandonner pour de plus générales les méthodes si simples qui dérivent de leur étroite connexité avec la fonction exponentielle. J'aurais abrégé sensiblement le Chapitre VII, si, devant employer la même méthode pour les fonctions elliptiques, je n'eusse tenu à en expliquer le mécanisme sur les thèmes les plus simples. Je ne crois donc pas qu'il y ait là des longueurs inutiles; il me semble en outre qu'on voit bien mieux le fond des choses en procédant ainsi.

Dans l'étude des fonctions elliptiques, beaucoup d'auteurs ont cessé de prendre l'équation différentielle pour point de départ.. J'ignore pourquoi, si ce n'est à cause des difficultés que paraissait présenter, dans cet ordre d'idées, la démonstration de la nonnullité du moment des périodes. Mais ayant réussi à établir fort simplement ce point essentiel (* ), jugeant artificielles et beaucoup moins bonnes les méthodes d'exposition où le rôle dominant est conféré aux fonctions 8, je me suis contenté de Téquation différentielle à l'époque éloignée déjà, où j'ai rédigé pour moi-même et en partie pour mon enseignement ce que j'ai placé dans les Chapitres VIII à XII. Je crois avoir amélioré plusieurs parties de cette théorie. Par exemple, je raisonne sans cesse sur la fonction elliptique la plus générale, et je réduis ainsi à un fort petit nombre cet amas de formules embarrassées, qui sont habituellement présentées indépendamment les unes des autres, que personne ne retient, dont beaucoup, sans doute, sont à peine lues. De cette manière, on aperçoit bien mieux aussi l'origine des propriétés spéciales des fonctions X(a:), \i-{x), v(^), de celles en particulier qui ont fait choisir la première pour type de toutes les fonctions elliptiques. Sur toute cette théorie, M. Riquier a bien voulu me faire part d'observations variées dont plusieurs m'ont été d'un grand profit.

L'espace me manquait pour pousser la théorie des fonctions eulériennes au delà de ses éléments rendus si nets par des recherches relativement récentes.

L'exiguïté de mon cadre et la destination de ces Leçons s'oppo-

( * ) Sur l 'existence effective des deux périodes des fonctions elliptiques {Ann, scient, de l'École Normale sup., 3' série, t. I, i884).

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saienl également à ce que j'j fisse entrer des développements sur les singularités essentielles, objet des travaux de M. Weierstrass et d^autres géomètres à sa suite.

MM. J. Tannery dans le Bulletin des Sciences mathématiques, C. Juel dans ie N^t Tidsskrift for Mathematik, C. Bourlet dans les Nouvelles Annales de Mathématiques, E. Ghailan dans la Revue bibliographique universelle, A. Morel dans le Cosmos, J. de Séguier dans les Études philosophiques, etc., E. Humbert dans la Revue générale des Sciences, H. Duport dans la Revue bourguignonne de l'Enseignement supérieur, ont honoré mon premier Volume d'appréciations dont l'indulgence est chose peu accoutumée pour moi, et dont je leur exprime cordialement toute ma reconnaissance. Leur courtoisie a sûrement exagéré leurs éloges; je crois cependant pouvoir retenir comme un encouragement précieux, comme une espérance, l'approbation réfléchie qui semble en faire le fond. M. Juel assurant par exemple qu' «... après s'être habitué au nouveau vocabu- » laire, on lit l'Ouvrage avec une grande facilité ... », M. Ghailan renchérissant encore (i), éloignent de moi la crainte, exprimée quelquefois, que Je fil de mes raisonnements ne soit malaisé à suivre. Déjà M. Riquier a fait à mes Principes généraux l'honneur de les prendre pour base générale de son enseignement à la Faculté des Sciences de Gaen; c'est là un autre suffrage d'une valeur considérable, dont mon excellent et habile Gollègue a rehaussé le prix en m'autorisant à le proclamer.

La bienveillance de mes critiques ira sans doute jusqu'à me permettre d'opposer quelques mots à des affirmations de leur part qui ne m'ont pas encore convaincu. M. Tannery signale les développements trigonométriques parmi les modes de représentation des fonctions qui pourraient faire concurrence aux séries entières. Outre l'extrême rareté des circonstances où ils sont utiles, je rappellerai que, sans l'intervention des séries entières, la notion des fonctions circulaires, leurs matériaux essentiels, serait analytique ment inabordable (*). Je suis infiniment plus disposé

(') « ... Si le lecteur veut bien oublier tout ce qu'il sait, sauf les opérations » sur les polynômes et les lois de la logique, puis admettre sans réticence leprin- » cipe fondamental de M. Méray, il trouvera que l'étude de l'Analyse, ainsi pré- » seotée, est toute simple et pleine de charmes ...» i^Rev. àibl, univ., janv. 1895, p. il). La justesse de cet éloge me procurerait la récompense la plus précieuse de mon travail; je ne pourrais cependant souscrire au passage que j'ai souligné si, contrairement à l'intention de M. Ghailan, il devait être entendu dans le sens que ma théorie, partageant Tinfirmité commune à celles que j'ai abandonnées, reposerait sur quelque Postulatum spécial, étranger aux axiomes nécessaires à l'Arithmétique des nombres entiers; je pense effectivement que la rigueur de mes raisonnements ne le cède jamais à celle de la démonstration vulgaire du Binôme de Newton, par exemple.

(') En particulier, un point fondamental de la théorie courante de ces fonctions est la propriété du rapport du sinus à l'arc de tendre vers i quand ce dernier est