CHAPITRE XIII. ' FONCTIONS EULÉRIBNNES

Le produit des exponentielles figurant au dénominateur se réduit à

celui des binômes figurant au numérateur est Ar, valeur de

pour ^ = 1, parce que leurs seconds termes sont précisément les racines autres que i, de Téquation binôme L^ — i = o (201, VI). Moyennant quoi, il reste simplement

" = \k-V d'où

puis la formule ( 1 2) que nous avions à établir. Les radicaux doivent être pris positivement, parce que son premier membre est positif pour toute valeur positive de x,

442. Les propriétés de la fonction r(a:) dont nous venons de parler, et d'autres artifices dans le détail compliqué desquels il nous est impossible d'entrer, rendent relativement facile la construction d'une ^Table de ses valeurs (ou plutôt de celles de son logarithme) pour les valeurs positives de x, et la formule (11) permet de limiter son étendue à l'intervalle compris entre 1 et a par exemple; l'emploi de la formule (11 bis) permettrait même d'abaisser à ^ la limite supérieure de cet intervalle. Cette Table est utile au calcul numérique de beaucoup d'intégrales définies réductibles aux. intégrales eulériennes.

Quand x est une quantité positive très grande, une formule curieuse, que nous ne pouvons pas non plus faire connaître, fournit pour /r(;r) une expression très simple et d'autant plus approchée que la valeur de x est plus grande. Elle permet ainsi (439) d'évaluer rapidement et avec une grande approximation le produit i .2. . . (N — i) quand N est un entier considérable, question fort importante dans certaines applications de

TAnalyse combinatoire, qui trouve aiasi des ressources Inattendues dans la théorie de la fonction F.

D'après Téquation différentielle (lo), la fonction r(j:) peut être considérée comme engendrée par deux intégrations successives d'un tronçon illimité du développement de la fonction iaC^j I ) (278, IV, 3°), accompagnées d'une détermination convenable des constantes arbitraires et suivies du passage des logarithmes aux nombres. Cette observation fait présumer que trois intégrations, exécutées sur telles ou telles parties illimitées du développement de ^^{x) (342) et suivies des mêmes opérations accessoires, conduiraient peut-être à de nouvelles fonctions méromorphes ressemblant plus ou moins à la fonction F.