CHAPITRI III. — FONCTION RADICALE SIMPLE
formule qui met en lumière le point de contact fort étendu, existant entre la présente théorie et celle des transcendantes exponentielles et logarithmiques (Chap. V, inf.).
86. La comparaison des valeurs finales acquises par ^(m, x) au bout des divers chemins qui peuvent conduire x de jro(=^ i) à une même valeur finale X est une question d'importance majeure que domine cette première observation.
Deux chemins conduisent if {xa^ x) {et toutes ses dérivées) aux mêmes valeurs finales, quand ils ne sont pas séparés par Vorigine Ox, c'est-à-dire quand il n'est pas nécessaire de faire franchir ce point à Vun des deux chemins pour V amener à coïncider as;ec Vautre par déformation progressive.
Car t|/(nt, x), étant localement olotrope partout ailleurs qu'à Torigin'e X =^o (80, III), Test nécessairement à Finlérieur de Taire à faire balayer par Tun des chemins pour l'appliquer sur l'autre^ puisque cette aire est supposée ne pas contenir ce point (173*).
La même observation s'applique évidemment à deux chemins de première extrémité commune Xi quelconque, pourvu toujours que ^(in, x) (et ses dérivées) partent de :C| avec les mêmes valeurs initiales pour l'un et pour l'autre.
87. Quant aux chemins séparés par l'origine, ils peuvent être ramenés comme il suit à des formes facilement comparables.
Renfermons l'origine dans quelque aire limitée par un contour fermé ne se coupant pas lui-même ou anneau [Oj?], et traçons de Xo à X quelque chemin [xo:r(i)X] passant par un point x^s) pris arbitrairement sur l'anneau. Il est visible que tout chemin tracé de XoàlLpeut, sans franchir l'origine, venir s'appliquer sur celui quon forme en plaçant bout à bo^it, d'abord le premier tronçon \^x^x^%)^du chemin [j^o^rn^]» P^is l'anneau [0^?] parcouru de x^s) à x^\) dans un sens de rotation et un nombre de fois convenables, puis enfin le dernier tronçon [^(<)X] du même chemin [j?o^(«)X.]. Il en résulte (86) qu.^ au point de vue des valeurs finales de ^{VX, x), le premier de ces chemins équivaut au second.
Il est encore visible que deux chemins du genre de ce second M. — II. 6
82 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS D'UNB 8BULE VARIABLE.
sont séparés par Vorigine, quand ils ne diffèrent Vun de l^ autre que par le nombre ou le sens des révolutions à faire sur Vanneau.
Il nous resle donc seulement à comparer les uns aux autres les divers chemins formés en compliquant le parcours du même chemin [a:o^(oX] que nous dirons simple dans un sens relatif, par des révolutions de sens et de nombre quelconques, exécutées sur le même anneau [Oj.] intercalé entre ses deux tronçons.
Les deux sens opposés dans lesquels un observateur peut marcher sur Panneau se distinguent par cette circonstance, que dans Tun il aperçoit l'aire extérieure toujours dans la direction où, regardant Torigine d'un point de la partie positive de Taxe OX', il verrait celle de OX" (à sa droite, pour la disposition relative des axes convenue au n**92* 6w), que dans l'autre il aperçoit toujours cette aire dans la direction opposée.
Nous dirons le premier sens de rotation direct, le second rétrograde.
Nous observerons encore que les deux tronçons du chemin simple ayant été tracés une fois pour toutes, la forme de l'anneau [Oj;] {non le sens de son parcours) est sans influence sur la valeur finale de '}(nt, x).
Car deux anneaux qui l'un et l'autre partent de x^t) pour y revenir, et qui, bien entendu, sont parcourus dans des sens de rotation identiques, peuvent être regardés comme deux chemins de mêmes extrémités, que l'origine ne sépare pas (86).
