III. On a de même, pour toutes valeurs de m, lU

Même raisonnement (76).

82. La relation générale (21) permet de mettre sous une forme remarquable la formule de différentiation (18).

En y prenant ^=2, K< = — K2=i, in« = IH, HI2 = A", elle donne

On en conclut

r/*^(ni, x) , ^ , , . , , , .

83. Quand m n'a pas la valeur — i, le changement de ÎH en ni 4- I et l'hypothèse A==: i réalisés dans la formule (22) donnent en intégrant

/4,(m, X) dx == '^^'" "- '' -^^ ^ C ^ -^i^Sah^ ^ c (81,11). •'^^'^ in-+-i nn-i \»/

Pour m = — I, cette formule devient illusoire : ^{tti, x) se réduit à -> et l'intégrale est le logarithme népérien dont nous

parlerons longuement plus tard (Chap. V, in/,).

84. Cette autre propriété caractéristique d'un genre tout différent nous sera bien utile aussi.

Si les quantités

• . . Xl—\^ Xi y Xi+lj

forment une progression géométrique de raison y, les valeurs

correspondantes de ^(îH, x) en forment une autre de raison

Car (en supposant ces valeurs de x suffisamment rapprochées) les égalités

donnent

— ^< — ^i-^ ^1-^1 — ^i Xi-i Xi

d'où (80, II)

85. Maintenant il nous est facile de calculer les coefficients de la série (i4)' Comme cp(tn, i H- ^)estla valeur de ^{^(tn, x) à Textrémité du segment rectiligne allant de ^ = i à j: = i -h ^, l'identité (ai) donne, pour ^ = 2, K| = Ko = i , îHi = lîl, 1112 = A,

«(m-i-A, i-h*) = ïp(m, i-i-f)çp(A, iH- 0-

En égalant les coefficients de h dans les deux membres, celle-ci donne

*Pm;V("*' i-i-0 = Aiç(m, 14-0,

d'où, en égalant encore les coefficients de m*"*,

puis immédiatement

D'ailleurs on a visiblement A, = T, si pour plus de commodité

on pose

Il en résulte finalement