CHAPITRE III. — FONCTION RADICALE SIMPLE

extrémité du premier tronçon du chemin simple, puis

(îi4) ^(11» ^(1)» •••> ^is)i ^(1)

les sommets du chemin constitué par Panneau, écrits dans Tordrn où on les rencontre en y faisant une révolution directe, et

W(i), M(i), ..., M(/)i Wjjj

les valeurs correspondantes de u.

La formule générale (19) donne

en posant pour abréger

(.5). ,„ = ,(«, ,^Sf±.'ZfV.).

On en déduit successivement

(26) a[lî = *.«(,), où

Comme, en vertu de la formule (19), les développements de ^(in, x) à employer pour repartir de ar^ij, d'abord après le simple parcours du premier tronçon [.roJr(i)], ensuite après le même parcours allongé de celui de Tanneau, sont

et

la relation (26) montre que les coefficients du second se réduisent aux produits de ceux du premier par la constante 4>. La valeur de ^(01, x) sur le second tronçon [j?(i,X] précédé de Tanneau, s'obtiendra donc toujours en multipliant par 4> sa valeur au même point de ce tronçon non précédé de l'anneau (177*). Il en résulte

84 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS D'DNB SEULE VARUBLB.

notamment

II. Comme aucune restriction n'a imposé une forme spéciale au chemin [^o^(i)X], dont la qualification de simple est purement relative, la formule précédente montre que l'addition d'un anneau direct à un chemin quelconque, multiplie simplement par ^ la valeur finale de '{^(ni, x).

Le chemin qui conduit u à U^"*"^^ résultant de l'addition d'un anneau direct à celui qui a donné u = U^"*"*^, on a, d'après l'observation précédente,

et de môme

(29) ut-^*> = **u.

III. En partant de x^x) pour y revenir, après avoir parcouru l'anneau d'abord une fois dans le sens rétrograde, puis une fois dans le sens direct, on marche sur un chemin fermé qui peut évidemment être réduit à des dimensions insensibles sans franchir l'origine. En adjoignant donc un pareil contour au chemin simple, on laisse celui-ci équivalent à lui-même. En d'autres termes, l'adjonction d'un anneau direct à un chemin formé par le chemin simple allongé d'un anneau rétrograde le rend équivalent au chemin simple, d'où (II)

D'ailleurs O ne peut pas être nul, car autrement U^"*"*^ le serait d'après la formule (28), ce qui est impossible (80, IV); on a donc

relation à laquelle on arriverait encore en faisant à rebours les opérations de l'alinéa I (après s'être arrangé de manière que le cheminement inverse fût praticable).

De là, le raisonnement de l'alinéa II conduit à la formule

formant avec (29) l'équivalent de la relation générale (28) qu'il fallait établir.