IV. Considérons enfin deux anneaux directs quelconques

sur lesquels nous marquerons à volonté les points 'j:(|)% "^(i) respeclivement) et, par ces derniers, traçons de x^o) à X deux chemins non séparés par Torigine.

L'équivalence de ces deux chemins simples entraîne évidemment celle des deux chemins formés en les compliquant des deux anneaux '[O^], "[O^] respectivement. Si donc on appelle U la valeur finale donnée par run.ou l'autre des chemins simples, et '4^, "^ les multiplicateurs correspondant aux deux anneaux, on a

d'où

à cause de Unon = o. La valeur du multiplicateur 4>, étant la même pour tous les anneaux, ne dépend ainsi que de celle du paramètre m.

89. Rien n'empêche de donner à k révolutions rétrogrades exécutées sur l'anneau [0^:] le nom de révolutions directes en nombre — k. D'après cette convention et le théorème précédent, les valeurs finales de ^(ttl, x) au bout du chemin simple, cornpliqué d'anneaux directs en nombres

sont respectivement les termes de la progression géométrique de raison ^, indéfinie dans les deux sens,

(3o) ..., *-«U, *-iU, *'>U = U, *U, *«U, ....

90. En représentant par 4> (lit) la valeur du multiplicateur 4> qui correspond à la valeur m du paramètre de la fonction ^, on a, d'après les formules (27), (aS),

Cette quantité ^{tx) est donc développable en une série entière en Ht, dont le rayon de convergence est illimité; chaque facteur du second membre jouit efiectivement de cette propriété (78, IV) (116% VII).

En particulier, ^{XSi)est une fonction indéfiniment olotrope de m (140*).